somme strane
somme strane
come tutti ben sanno (e se non lo sapevano, ora lo sanno), si può scrivere $ \sum_{i=1}^k x_i^n $ come polinomio nelle funzioni simmetriche elementari ($ \displaystyle s_1 = \sum_i x_i, s_2 = \sum_{i<j} x_ix_j, \dots s_k = x_1x_2\dots x_k $): quello che chiedo di trovare, e' la somma dei coefficienti di tale polinomio.
Io l'ho intesa cosi':
k=grado del polinomio
$ x_1,x_2,x_3,..,x_k $ =radici del polinomio
n=esponente a cui si vuole elevare le radici.
Faccio un esempio (semplice):
Si voglia $ \sum_{i=1}^k{x_i^2} $.Per note formule risulta
che tale somma S e': S=$ s_1^2-2s_2 $ e la somma dei coefficienti
e' -1 (indipendentemente da k).Nel caso di $ \sum_{i=1}^k{x_i^3} $
risulta invece :S=$ s_1^3-3s_1s_2+3s_3 $ con somma dei coeff.=1.
Dal momento che ma_go dice diversamente ,forse ho sbagliato interpretazione.
Leandro.
k=grado del polinomio
$ x_1,x_2,x_3,..,x_k $ =radici del polinomio
n=esponente a cui si vuole elevare le radici.
Faccio un esempio (semplice):
Si voglia $ \sum_{i=1}^k{x_i^2} $.Per note formule risulta
che tale somma S e': S=$ s_1^2-2s_2 $ e la somma dei coefficienti
e' -1 (indipendentemente da k).Nel caso di $ \sum_{i=1}^k{x_i^3} $
risulta invece :S=$ s_1^3-3s_1s_2+3s_3 $ con somma dei coeff.=1.
Dal momento che ma_go dice diversamente ,forse ho sbagliato interpretazione.
Leandro.
No, gli $ x_i $ non sono le soluzioni del polinomio, ma sono le sue variabili.
Ad esempio, con $ n=3 $ e $ k=3 $, il polinomio è
$ x_1^3+x_2^3+x_3^3= $
$ =(x_1+x_2+x_3)^3-3(x_1+x_2+x_3) $ $ (x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)+3x_1x_2x_3= $
$ =s_1^3-3s_1s_2+3s_3 $.
Quindi in questo caso la somma dei coefficienti del polinomio negli $ s_i $ è $ 1-3+3=1 $.
Edit: corretto un refuso.
Ad esempio, con $ n=3 $ e $ k=3 $, il polinomio è
$ x_1^3+x_2^3+x_3^3= $
$ =(x_1+x_2+x_3)^3-3(x_1+x_2+x_3) $ $ (x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)+3x_1x_2x_3= $
$ =s_1^3-3s_1s_2+3s_3 $.
Quindi in questo caso la somma dei coefficienti del polinomio negli $ s_i $ è $ 1-3+3=1 $.
Edit: corretto un refuso.
Ultima modifica di MindFlyer il 30 nov 2005, 06:26, modificato 1 volta in totale.
Forse ho sbagliato i contazzi, non me ne stupirei, ma resta il fatto che il problema è da interpretarsi come dicevo...
Leandro, se c'è ancora qualcosa di incomprensibile nel "formalismo" del problema, chiedi pure chiarimenti.
Btw, noto ora che involontariamente ho fatto il tuo stesso esempio numerico, e forse questo ha creato confusione.
Leandro, se c'è ancora qualcosa di incomprensibile nel "formalismo" del problema, chiedi pure chiarimenti.
Btw, noto ora che involontariamente ho fatto il tuo stesso esempio numerico, e forse questo ha creato confusione.
Per quanto mi sforzi non vedo la differenza:sara' che non
ho afferrato in pieno la questione.
Comunque mi affido alla competenza di MindFlyer ed aspetto
con curiosita' altre soluzioni.
Ciao.
*Edit*
Preciso che le radici xi di cui parlavo ,non sono le radici del polinomio
in si ma quelle di un ipotetico polinomio (monico) di grado k dato da
(x-x1)(x-x2)...(x-xk).
ho afferrato in pieno la questione.
Comunque mi affido alla competenza di MindFlyer ed aspetto
con curiosita' altre soluzioni.
Ciao.
*Edit*
Preciso che le radici xi di cui parlavo ,non sono le radici del polinomio
in si ma quelle di un ipotetico polinomio (monico) di grado k dato da
(x-x1)(x-x2)...(x-xk).
Appunto, gli $ x_i $ non sono radici di un polinomio, sono le variabili del polinomio! Come ben sai, un polinomio può avere più di una variabile, ad esempio $ x^2+3xy-yz^2 $ è un polinomio in 3 variabili.Leandro ha scritto:Preciso che le radici xi di cui parlavo ,non sono le radici del polinomio
in si ma quelle di un ipotetico polinomio (monico) di grado k dato da
(x-x1)(x-x2)...(x-xk).