gruppo simmetrico su 4 oggetti

[Martino]

C'è un problema che mi assilla da tutto il pomeriggio: come è fatto $ S_4 $? (gruppo simmetrico su 4 oggetti). Ovvero, qual'è il reticolo dei suoi sottogruppi? Quanti sottogruppi ciclici? Quanti alterni? Quanti diedrali? Quanti di Klein? Se considero $ g=(1\ 2),\ h=(1\ 3),\ l=(1\ 4) $, che certamente generano tutto il gruppo, quali sono le relazioni tra essi che caratterizzano $ S_4 $? Qual'è un insieme minimale di generatori per $ S_4 $?

Grazie se potete rispondermi, anche solo darmi qualche idea (o anche solo dirmi dove posso trovare qualche idea).

Ciao.

[Marco]

Quanti sottogruppi ciclici?

Dato un generico gruppo finito $ G $, i sottogruppi ciclici sono tutti e soli quelli che ottieni prendendo i singoli elementi di $ G $ e ne fai il gruppo generato. Inoltre sai anche dire quante volte viene contato ogni sottogruppo: se $ g \in G $ ha ordine $ q $, allora il suo sottogruppo ciclico ha esattamente $ \varphi(q) $ generatori.

Nel caso di $ S_4 $, inoltre, si sa esattamente quanti sono gli elementi di ogni ordine:
- 1 el. neutro di ordine 1
- 6 trasposizioni di o. 2
- 3 (2,2)-cicli di o.2
- 8 3-cicli di o.3
- 6 cicli di o. 4

Ne segue che i sottogruppi ciclici sono

$ $ \frac{1}{\varphi(1)} + \frac{9}{\varphi(2)} + \frac{8}{\varphi(3)} + \frac{6}{\varphi(4)} $,

per un totale di $ 1 + 9 + 4 + 3 = 17 $.

Qual'è un insieme minimale di generatori per $ S_4 $?

E' un fatto vero in generale che il gruppo simmetrico $ S_n $ può essere generato da un ciclo e dalla trasposizione di due elementi adiacenti. Inoltre è ovvio che se $ n \geqslant 3 $, $ S_n $ non è ciclico. Ne segue che un insieme minimale di generatori deve contenere almeno due elementi. Del resto, due elementi bastano.

[publiosulpicio]

Qualche tempo fa avevo trovato un bellissimo sito con i reticoli di un numero incredibile di gruppi.. era davvero bello, non è che qualcuno conosce un sito simile dato che riesco più a trovarlo?
Era simile a questo http://darkwing.uoregon.edu/~jwilson7/m ... order.html ma se non mi ricordo male era più completo.