punti sulla crf unitaria
punti sulla crf unitaria
Sapete trovare infiniti punti su $ x^2+y^2=1 $ in modo che la distanza tra ogni coppia di punti sia razionale?
_k_
Siano O l’origine, $ A_1, A_2, A_3, \lddots $i punti cercati (presi girando sempre nello stesso verso per un numero illimitato di giri) e $ A_1OA_2=2 \alpha_1, A_2OA_3=2 \alpha_2 $, eccetera. Per il teorema della corda (valido in valore assoluto anche per angoli superiori all’angolo giro), le distanze fra i vari punti sono il doppio del seno di una $ \alpha_i $ o di una loro somma; affinché siano razionali è quindi sufficiente che tutte le $ \alpha_i $ abbiano seno e coseno razionali. Chi conosce le terne pitagoriche attribuirà al seno e coseno (in qualsiasi ordine) i valori $ \frac{u^2-v^2}{u^2+v^2} $ e $ \frac{2uv}{u^2+v^2} $, con u, v interi; chi non le conosce può pensare ai numeri $ \frac35 $ e $ \frac45 $ oppure a $ \frac{12}{13} $ e $ \frac5{13} $. Le varie $ \alpha_i $ possono essere diverse fra loro; per semplicità e ad evitare il dubbio di ricadere sugli stessi punti le si può prendere uguali, accettando il valore arcsin $ \frac 35 $, che si considera incommensurabile con l’angolo giro. A proposito: qualcuno sa dirmi in breve se questa incommensurabilità è dimostrata o postulata?
Detti P e P' i punti in questione e la distanza tra essi d
Per il teorema delle secanti applicato al triangolo PP'O nella circonferenza goniometrica di centro O si ha:
$ \frac{1}{sin(\alpha)} = \frac{d}{sin(\beta)} $ poichè
$ \beta= \pi-2\alpha $
otteniamo $ d= \frac{sin(2\alpha)}{\alpha} $
$ sin(2\alpha)= 2cos(\alpha)sin(\alpha) $
quindi$ d=2cos(\alpha) $
esistono infiniti $ \: \:\alpha \:\: $che soddisfano l'equazione
considero poi P e P' in coordinate polare e dovrebbe essere dimostrato.
Per favore qualcuno potrebbe corregermi la soluzione, non mi piace affatto!
Per il teorema delle secanti applicato al triangolo PP'O nella circonferenza goniometrica di centro O si ha:
$ \frac{1}{sin(\alpha)} = \frac{d}{sin(\beta)} $ poichè
$ \beta= \pi-2\alpha $
otteniamo $ d= \frac{sin(2\alpha)}{\alpha} $
$ sin(2\alpha)= 2cos(\alpha)sin(\alpha) $
quindi$ d=2cos(\alpha) $
esistono infiniti $ \: \:\alpha \:\: $che soddisfano l'equazione
considero poi P e P' in coordinate polare e dovrebbe essere dimostrato.
Per favore qualcuno potrebbe corregermi la soluzione, non mi piace affatto!
Ecco qualche correzione:evans ha scritto: Per favore qualcuno potrebbe corregermi la soluzione, non mi piace affatto!
errori lievi
1) il teorema de te usato non è "delle secanti" ma "dei seni"
2) nei triangoli isosceli di solito si preferisce usare i teoremi sui triangoli rettangoli; la tua formula finale era ottenibile molto più rapidamente considerando il triangolo OHP, essendo H il punto medio di PP'
3) in una formula hai scritto $ \alpha $ anzichè sin $ \alpha $
errore grave
Non hai dimostrato la tesi. Anche ammettendo che tu abbia pensato "do valori razionali a cos $ \alpha $" (avresti però dovuto dirlo), il problema parla di "ogni coppia"; in altre parole, dopo aver preso due punti P' e P" con distanza razionale da P, sei sicuro che anche P'P" sia razionale? E quando consideri tre o più punti?
Che vuol dire incommensurabile? Irrazionale? Beh, comunque un corollario al teorema di Lindemann-Weierstrass dice che arcsin(3/5) è trascendente.gianmaria ha scritto:arcsin $ \frac 35 $, che si considera incommensurabile con l’angolo giro. A proposito: qualcuno sa dirmi in breve se questa incommensurabilità è dimostrata o postulata?
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
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