A causa della rotazione terrestre, un pendolo non è sempre perfettamente allineato alla forza di gravità. Siano $ R,T,l $ rispettivamente il raggio terrestre, il periodo di rotazione della Terra, la latitudine del luogo in cui si trova il pendolo.
Trovare i valori di $ l $ per cui $ \alpha (l) = 0 $.
Dimostrare che $ \alpha \simeq \frac{2 {\pi}^2 R}{gt^2} \cdot sen(2l) $.
Determinare il punto di massimo e il massimo di $ \alpha = f(l) $.
Pendolo sospetto
In un sistema di riferimento solidale con la terra, il pensolo è soggetto alla propria forza peso diretta radialmente verso il centro della Terra, la forza centrifuga ke forma con questa un angolo di $ 180^\circ - L $ e la tensione del filo. Il diagramma delle forze è questo:
Imponiamo la condizione di equilibrio lungo la direzione parallela e perpendicolare alla forza peso:
$ \begin{array}{l} T\cos \alpha = P - F_C \cos L \\ Tsen\alpha = F_Csen\L \\ \end{array} $
Dividendo membro a membro la seconda alla prima si ricava:
$ tg\alpha = \frac{{a_c senL}}{{g - a_c \cos L}} $
Il pendolo a causa della rotazione della terra intorno al proprio asse ruota in moto circolare uniforme su una circonferenza di raggio $ R\cos L $ . Quindi:
$ a_c = \omega ^2 R\cos L = \frac{{4\pi ^2 R\cos L}}{{T^2 }} $
L'accelerazione centrifuga,ke assume valore massimo all'equatore, è trascurabile rsipetto all'accelerazione di gravità x cui:
$ g - a_c \cos L \approx g $
Inoltre l'angolo di deviazione $ \alpha $ è piuttosto piccolo e quindi possiamo porre
$ tg\alpha \approx \alpha $.
A questo punto basta sostituire...
Come si può vedere dall formula la deviazione è massima per $ \alpha=45^\circ $,nulla per $ \alpha = 0^\circ ,90^\circ $. Infatti all'equatore l'unico effetto della forza centrifuga è quello di alleggerire il peso reale del pendolo, al polo la forza centrifuga è nulla.
Imponiamo la condizione di equilibrio lungo la direzione parallela e perpendicolare alla forza peso:
$ \begin{array}{l} T\cos \alpha = P - F_C \cos L \\ Tsen\alpha = F_Csen\L \\ \end{array} $
Dividendo membro a membro la seconda alla prima si ricava:
$ tg\alpha = \frac{{a_c senL}}{{g - a_c \cos L}} $
Il pendolo a causa della rotazione della terra intorno al proprio asse ruota in moto circolare uniforme su una circonferenza di raggio $ R\cos L $ . Quindi:
$ a_c = \omega ^2 R\cos L = \frac{{4\pi ^2 R\cos L}}{{T^2 }} $
L'accelerazione centrifuga,ke assume valore massimo all'equatore, è trascurabile rsipetto all'accelerazione di gravità x cui:
$ g - a_c \cos L \approx g $
Inoltre l'angolo di deviazione $ \alpha $ è piuttosto piccolo e quindi possiamo porre
$ tg\alpha \approx \alpha $.
A questo punto basta sostituire...
Come si può vedere dall formula la deviazione è massima per $ \alpha=45^\circ $,nulla per $ \alpha = 0^\circ ,90^\circ $. Infatti all'equatore l'unico effetto della forza centrifuga è quello di alleggerire il peso reale del pendolo, al polo la forza centrifuga è nulla.
Carino, l'ho risolto anch'io, ma mi sono complicato la vita prendendo come direzioni lungo le quali calcolare le forze invece che quella orizzontale e verticale, qella perpendicolare al filo. Così avevo una sola equazione, ma ho dovuto prima applicare le regole per trovare il seno della somma di due angoli e poi elaborare un pò l'equazione per far saltare fuori la tangente. Un pò più di fatica.....
Welcome to the real world...