Un fascio di elettroni di carica $ e $ e massa $ m $ entra con velocità trascurabile tra due lamine a facce piane parallele che si trovano alla distanza $ d $ e ad una differenza di potenziale $ V $. Perpendicolare alla velocità di propagazione degli elettroni è applicato un campo magnetico $ B $ per evitare che il fascio di elettroni colpisca la lamina a potenziale maggiore. Calcolra il valore minimo di $ B $ affinchè ciò sia possibile.
Per favore potete risolvere questo problema il prima possibile illustrando se possibile i passaggi della risoluzione. Ne ho estremo bisogno grazie.
P.S. gli elettroni entrano dalla parte negativa del campo elettrico.
Problema sul moto di Elettroni (AIUTatemi)
Sono onesto: è quasi un'ora che ci penso ma non ce l'ho fatta!! 
Comunque il problema di fondo non è la difficoltà fisica (principi, leggi....) ma è un giochetto matematico un pochettino complicato ma credo sia fattibile. Mi spiego. La traiettoria che percorre la particella è particolare poichè vi è un'acellerazione dovuta alla forza di lorentz che continua a cambiare modulo e direzione, rimanendo naturalmente sempre radiale rispetto alla traiettoria. La forza elettrica invece mantirne la sua direzione e il suo modulo. Quello che ho pensato è che innanzi tutto la forza di Lorentz, quando l'elettrone giungerà a sfiorare l'anodo, sarà uguale ed opposta rispetto alla forza elettrica. Ma il problema è determinare la velocità che l'elettrone possiderà in quel punto, velocità che avrà direzione parallela all'anodo. Ora per trovare tale velocità ho pensato che il lavoro compiuto dalla forza elettrica, cioè Vq, dovrà essere uguale a quello compiuto dalla forza magnetica lungo lo stesso asse, cioè solo la componente di tale forza parallela alla forza elettrica. Ma quì sorge il problema dovuto alla mia scarsezza dal punto di vista degli strumenti matematici: come calcolare tale lavoro se la forza cambia verso e modulo nel tempo in relazione alla velocità?
Spero che qualcuno più bravo me lo sappia dire, perchè anch'io ora non riuscirei a dormire.......
Comunque il problema di fondo non è la difficoltà fisica (principi, leggi....) ma è un giochetto matematico un pochettino complicato ma credo sia fattibile. Mi spiego. La traiettoria che percorre la particella è particolare poichè vi è un'acellerazione dovuta alla forza di lorentz che continua a cambiare modulo e direzione, rimanendo naturalmente sempre radiale rispetto alla traiettoria. La forza elettrica invece mantirne la sua direzione e il suo modulo. Quello che ho pensato è che innanzi tutto la forza di Lorentz, quando l'elettrone giungerà a sfiorare l'anodo, sarà uguale ed opposta rispetto alla forza elettrica. Ma il problema è determinare la velocità che l'elettrone possiderà in quel punto, velocità che avrà direzione parallela all'anodo. Ora per trovare tale velocità ho pensato che il lavoro compiuto dalla forza elettrica, cioè Vq, dovrà essere uguale a quello compiuto dalla forza magnetica lungo lo stesso asse, cioè solo la componente di tale forza parallela alla forza elettrica. Ma quì sorge il problema dovuto alla mia scarsezza dal punto di vista degli strumenti matematici: come calcolare tale lavoro se la forza cambia verso e modulo nel tempo in relazione alla velocità?Spero che qualcuno più bravo me lo sappia dire, perchè anch'io ora non riuscirei a dormire.......
Welcome to the real world...
Mi sa che che ho risolto questo problema. La forza di lorentz quando l'elettrone sfiora l'anodo deve essere uguale alla forza elettrica. Si può scrivere $ \abs (e) vB = \abs (e) E $ che diventa $ B = \frac {V}{vd} $. Per determinare la velocità dell'eletrone in prossimità della lamina a potenziale maggiore basta applicare il teorema dell'energia cinetica e scrivere $ \frac{1}{2} mv^2 = e V $. Sostituendo v nell'equazione precedente si ottiene che $ B= \sqrt{\frac{mV}{2ed^2}} $. Penso che la soluzione vada bene voi cosa ne pensate.
ehm... avevo malcompreso il problema allora.drago88 ha scritto: Penso che la soluzione vada bene voi cosa ne pensate.
Stavo pensando ad elettroni che entrano con velocità propria tra le lamine e subiscono l'effetto di campo magnetico ed elettrico combinati.
Con forza magnetica uguale a quella elettrica continuerebbero il loro tragitto indisturbati, con forza magnetica più forte succedono altre cose.
Non vorrei essere troppo precipitoso, ma capitemi, ho avuto una giornata davvero incasinata... ma il lavoro della forza magnetica sull' elettrone non è sempre nullo in quanto la forza magnetica è orientata perpendicolarmente al piano individuato dai vettori campo magnetico e velocità? Ditemi se la mia considerazione può essere plausibile
Lunga vita e prosperità
Tenderei a concordare con drago88.
Dato che ormai l'ho scritta, e mi dispiace aver lavorato per niente, posto anche la mia (che è identica), forse è spiegata in modo un po' più esteso.
E' vero che nella condizione limite vale che:
$ eE=evB $
$ v=\frac{V}{Bd} $
L'idea furba è questa: poichè la forza magnetica è in ogni istante perpendicolare alla traiettoria, il lavoro da lei compiuto è nullo. Infatti l'effetto della forza magnetica è tipicamente solo quello di curvare la traiettoria, senza influenzarne l'energia. Non ci interessa per nulla il fatto che in questo caso il raggio di curvatura non sia costante.
Dunque, per la conservazione dell'energia:
$ \frac{1}{2}mv^2=Ve $
Ponendo a sistema e risolvendo: $ B=\sqrt \frac{mV}{2ed^2} $
@NEONEO: il lavoro del campo magnetico è nullo (F,s perpendicolari in ogni istante della traiettoria) e non si oppone a quello del campo elettrico, serve solo a cambiare direzione.
Dato che ormai l'ho scritta, e mi dispiace aver lavorato per niente, posto anche la mia (che è identica), forse è spiegata in modo un po' più esteso.
E' vero che nella condizione limite vale che:
$ eE=evB $
$ v=\frac{V}{Bd} $
L'idea furba è questa: poichè la forza magnetica è in ogni istante perpendicolare alla traiettoria, il lavoro da lei compiuto è nullo. Infatti l'effetto della forza magnetica è tipicamente solo quello di curvare la traiettoria, senza influenzarne l'energia. Non ci interessa per nulla il fatto che in questo caso il raggio di curvatura non sia costante.
Dunque, per la conservazione dell'energia:
$ \frac{1}{2}mv^2=Ve $
Ponendo a sistema e risolvendo: $ B=\sqrt \frac{mV}{2ed^2} $
@NEONEO: il lavoro del campo magnetico è nullo (F,s perpendicolari in ogni istante della traiettoria) e non si oppone a quello del campo elettrico, serve solo a cambiare direzione.
Chiedo perdono ma mi arrendo. In effetti il problema era molto semplice per quello che richiede, e il lavoro del campo magnetico è in effetti nullo. quindi è facilmente risolvibile. Sarebbe bello comunque trovare l'espressione matematica della traiettoria...... proviamoci!
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