Purtroppo la definizione più impeccabile di "volume" di un sottoinsieme di uno spazio con n dimensioni si da sfruttando i concetti di misura (misura di Hausdorff, oppure, se va bene, misura di Lebesgue).
Nel caso dell'ipersfera, il suo volume è l'integrale della funzione costante 1 su di essa. Penso sia in questi concetti legati alla teoria della misura che si sfora nella matematica non elementare.
L'iperpartenone
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MindFlyer
Va beh sì, insomma, diciamo che nel piano tutti questi problemi di non elementarità non ci sono, perché per la dimostrazione che ho in mente è sufficiente usare dei rettangoli di area 4. E grazie al cielo in questo caso non ci sono grossi problemi di definizione (in ambito olimpico, poi se volete fare i Matematici potete farvi seghe mentali fino allo sfinimento!).
Aggiungendo la dimostrazione data da moebius sul teorema di Minkowski, abbiamo dimostrato in modo elementare anche la seconda stima che ho dato nel primo post. Resta il fatto che la prima stima (peggiore) si ottenga in modo nettamente più semplice!
Aggiungendo la dimostrazione data da moebius sul teorema di Minkowski, abbiamo dimostrato in modo elementare anche la seconda stima che ho dato nel primo post. Resta il fatto che la prima stima (peggiore) si ottenga in modo nettamente più semplice!
Oh che bello,qualcuno che si é interessato.
Dunque dunque...
3)
Ti ringrazio comunque EG per l'aiuto e ringrazio in anticipo chiunque contribuirà a risolvere il problema.
S.V.B.E.E.Q.V.(si valetis,bene est,ego quoque valeo)
GioMott
Dunque dunque...
Ochei,questa era facile.Più astuta quella cosuccia del MCD(é intuitiva,ma non so come si dimostra,puoi aiutarmi?).In quanto alla prima domanda ... e va be' ... metti le colonne nei punti a coord intere di un piano cartesiano, allora la colonna (1,n) è visibile dall'origine (non ci sono altre colonne allineate tra lei e l'origine) per ogni n.[...]Più in generale una colonna (m,n) è visibile dall'origine se e solo se MCD(m,n)=1.
E fin qui direi che ci siamo.1) il numero $ c_D $ di colonne visibili a distanza D (naturale) è la cardinalità del seguente insieme
$ \{ (a,b)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} \mid\ a^2+b^2=D,\ MCD(a,b)=1\} $
Ecco il perchè : una colonna a distanza D visibile avrà coordinate (m,n) tali che $ m^2+n^2=D^2 $ e allora (m,n,D) sarà una terna pitagorica primitiva. Ma allora $ D=a^2+b^2 $ per qualche a,b interi e coprimi. Il viceversa è ovvio.
Evariste,potresti mettere la dimostrazione?Il procedimento é chiaro ma non capisco come arrivi poi a quei risultati.2) sia $ k(D) $ il numero di colonne a distanza minore o uguale di D, allora
$ \pi D^2-2\sqrt{2}\pi D\leq k(D)\leq \pi D^2+2\sqrt{2}\pi D $
come ha detto il buon Gauss. Il succo della dimostrazione è chiudere ogni punto in un quadrato di lato 1 fare la differenza tra l'area di un ricoprimento di quadrati che deborda e l'area di un ricoprimento che sta tutto dentro il cerchio.
3)
La dimostrazione é ben accetta e anzi richiesta anche se non é elementare(rinnovo la domanda di essere più chiari possibile e di evitare di saltare i passaggi)Quindi se D è abbastanza grande, le colonne visibili a distanza minore o uguale di D sono circa $ \frac{3D}{2\pi} $ (un programmino in C conferma che l'approssimazione è buona già su D=100, ha un momento di dubbio tra 10.000 e 1000000, ma si riprende poi).
Ecco qui non ci capisco più gnente,se puoi spiegarti meglio...Allora, fattorizziamo D così:
$ D=2^kp_1^{2a_1}\ldots p_n^{2a_n}q_1^{b_1}\ldots q_m^{b_m} $
dove i p_i sono primi della forma 4k+3, e i q_i della forma 4k+1.
Se un qualche a_i non è intero, D non si può scrivere come somma di quadrati. Altrimenti, D può essere scritto come somma di quadrati $ Q(D)=4(b_1+1)\ldots(b_m+1) $ modi, contando diverse le coppie in cui cambia l'ordine o il segno di almeno uno degli elementi.
Per fare la media di Q(D) per D=1...N non abbiamo bisogno di questo dato però :
$ \sum_{D=1}^NQ(D) $ è il numero di punti nel cerchio di raggio $ \sqrt{N} $ e dunque è dato da $ \pi N $ come detto sopra; quindi in media Q(D) è circa $ \pi $, quando D è abbastanza grande, come al solito. $ 4+\pi $ è dunque il numero di colonne in media a distanza fissata. Ovviamente questa è una media che ha un errore quadratico spaventosamente alto : il numero 13^k ha 4(k+1) rappresentazioni come somma di quadrati.
Ti ringrazio comunque EG per l'aiuto e ringrazio in anticipo chiunque contribuirà a risolvere il problema.
S.V.B.E.E.Q.V.(si valetis,bene est,ego quoque valeo)
GioMott
Why are numbers beautiful? It’s like asking why is Beethoven’s Ninth Symphony beautiful. If you don’t see why, someone can’t tell you. I know numbers are beautiful. If they aren’t beautiful, nothing is. - P. Erdös
allora, un pezzo per volta : la faccenda del MCD.
Se una colonna si vede dall'origine, vuol dire che sul segmento che la congiunge all'origine non ci sono altre colonne, quindi se la colonna (p,q) si vede dall'origine, vuol dire che (tp, tq) non è una colonna per nessun t in ]0,1[, ovvero che non esistono p',q'>0 con p'<p, q'<q tali che p'/q'=p/q. Quindi vuol dire che MCD(p,q)=1.
Se del resto MCD(p,q)=1, il ragionamento si ribalta facilmente e non c'è alcuna colonna tra (0,0) e (p,q).
Per quanto riguarda la stima di gauss, considera i punti a coord intere dentro a un cerchio di raggio D; attorno ad ogni punto fai un quadrato di lato 1 che ha centro quel punto. Sicuramente questi quadrati sono contenuti tutti nel cerchio di raggio $ D+\sqrt{2} $ e contengono il cerchio di raggio $ D-\sqrt{2} $. Quindi, poichè l'area dei quadratini è il numero di punti a coord intere dentro al cerchio, hai
$ \pi(D-\sqrt{2})^2\leq N\leq \pi(D+\sqrt{2})^2 $
svolgendo i conti ti dovrebbe venire un risultato più o meno simile al mio...ma quel che conta è che dividendo per D^2 e mandando D all'infinito si ha che $ N/D^2 \to \pi $.
Ora, rispondo qui alle perplessità sull'ultima parte: chiamiamo $ r(k) $ i modi di scrivere k come $ m^2+n^2 $, ritenendo diverse le scritture $ m^2+n^2,\ n^2+m^2,\ (-m)^2+n^2,\ldots $ (cambi di segno e d'ordine). Ovviamente r(k) è il numero di punti a coord intere sulla circonferenza di raggio $ \sqrt{k} $.
Quindi, il numero di colonne a distanza minore o uguale di R è
$ \sum_{k=0}^{R^2}r(k) $
Questo numero è dunque il numero i punti interi nella circonferenza di raggio R e noi sappiamo che se R è abbastanza grande, questo numero si discosta poco da $ \pi R^2 $; inoltre, in quella sommatoria abbiamo considerato R^2 circonferenze e i punti su di esse, quindi in media, su ogni circonferenza ci sono $ \pi $ punti a coord intere. (il 4 nel post di prima è un errore).
Infine, ho fornito una formula per r(k) (che nel post prima avevo indicato con Q(D)) in termini della fattorizzazione di k (o di D, se preferisci). Quella formula (che si dimostra con alcune considerazioni abbastanza elementari, unite alla caratterizzazione dei primi che si scrivono come somma di due quadrati), dice che la media di pigreco punti per ogni circonferenza ha scarti molto alti : vi sono molte circonferenze con zero punti a coord intere e vi sono circonferenze (tipo quella con raggio 13^(k/2) ) che hanno tanti punti a coord intere quanti se ne vuole.
Per quanto riguarda la stima asintotica per il numero di colonne visibili, ebbene, la dimostrazione che ho in mente io è troppo complicata per postarla qui, sarebbe inutile. Aspetterò piuttosto per vedere se FrancescoVeneziano, a cui ho chiesto lumi sul problema, trova una strada più digeribile, seppure non elementare.
Se una colonna si vede dall'origine, vuol dire che sul segmento che la congiunge all'origine non ci sono altre colonne, quindi se la colonna (p,q) si vede dall'origine, vuol dire che (tp, tq) non è una colonna per nessun t in ]0,1[, ovvero che non esistono p',q'>0 con p'<p, q'<q tali che p'/q'=p/q. Quindi vuol dire che MCD(p,q)=1.
Se del resto MCD(p,q)=1, il ragionamento si ribalta facilmente e non c'è alcuna colonna tra (0,0) e (p,q).
Per quanto riguarda la stima di gauss, considera i punti a coord intere dentro a un cerchio di raggio D; attorno ad ogni punto fai un quadrato di lato 1 che ha centro quel punto. Sicuramente questi quadrati sono contenuti tutti nel cerchio di raggio $ D+\sqrt{2} $ e contengono il cerchio di raggio $ D-\sqrt{2} $. Quindi, poichè l'area dei quadratini è il numero di punti a coord intere dentro al cerchio, hai
$ \pi(D-\sqrt{2})^2\leq N\leq \pi(D+\sqrt{2})^2 $
svolgendo i conti ti dovrebbe venire un risultato più o meno simile al mio...ma quel che conta è che dividendo per D^2 e mandando D all'infinito si ha che $ N/D^2 \to \pi $.
Ora, rispondo qui alle perplessità sull'ultima parte: chiamiamo $ r(k) $ i modi di scrivere k come $ m^2+n^2 $, ritenendo diverse le scritture $ m^2+n^2,\ n^2+m^2,\ (-m)^2+n^2,\ldots $ (cambi di segno e d'ordine). Ovviamente r(k) è il numero di punti a coord intere sulla circonferenza di raggio $ \sqrt{k} $.
Quindi, il numero di colonne a distanza minore o uguale di R è
$ \sum_{k=0}^{R^2}r(k) $
Questo numero è dunque il numero i punti interi nella circonferenza di raggio R e noi sappiamo che se R è abbastanza grande, questo numero si discosta poco da $ \pi R^2 $; inoltre, in quella sommatoria abbiamo considerato R^2 circonferenze e i punti su di esse, quindi in media, su ogni circonferenza ci sono $ \pi $ punti a coord intere. (il 4 nel post di prima è un errore).
Infine, ho fornito una formula per r(k) (che nel post prima avevo indicato con Q(D)) in termini della fattorizzazione di k (o di D, se preferisci). Quella formula (che si dimostra con alcune considerazioni abbastanza elementari, unite alla caratterizzazione dei primi che si scrivono come somma di due quadrati), dice che la media di pigreco punti per ogni circonferenza ha scarti molto alti : vi sono molte circonferenze con zero punti a coord intere e vi sono circonferenze (tipo quella con raggio 13^(k/2) ) che hanno tanti punti a coord intere quanti se ne vuole.
Per quanto riguarda la stima asintotica per il numero di colonne visibili, ebbene, la dimostrazione che ho in mente io è troppo complicata per postarla qui, sarebbe inutile. Aspetterò piuttosto per vedere se FrancescoVeneziano, a cui ho chiesto lumi sul problema, trova una strada più digeribile, seppure non elementare.