bel problema di combinatoria PURA

[frengo]

siano $ A_1,A_2,\ldots,A_n $ n insiemi di un qualsiasi numero di elementi.
dimostrare che

$ \displaystyle \frac{1}{n}\left( \sum_{k=1}^{n}|A_k|\right)+\frac{1}{\binom{n}{3}}\sum_{1\leq i<j<k\leq n}|A_i\cap A_j\cap A_k| $$ \displaystyle \geq\frac{2}{\binom{n}{2}}\sum_{1\leq i<j\leq n}|A_i \cap A_j| $

scusate per la simbologia pesante (per scriverlo in $ \LaTeX $ ci ho messo mezz'ora) ma alla fine dopo averlo compreso è un bel problema.

non è difficile quindi all'inizio lo limito ai soli liceali(in particolare quelli che sono andati al WC, e TUTTI non solo qualcuno)

ciao ciao a tutti

[goedelgauss]

Quando dici $ A_k $ intendi anche nel secondo l'insieme del primo caso ,oppure un insieme compreso fra...

[frengo]

no considera gli indici delle tre somme come cose a sè stanti.
ciao ciao

[mattilgale]

consideriamo un elemento qualsiasi che sta in esattamente t degli n insiemi

abbiamo quindi che t è contanto
$ \dispalystyle\frac{t}{n}+\frac{ \binom {t}{3}}{ \binom {n}{3}} $ a sinistra e

$ \dispalystyle2\frac{ \binom {t}{2}}{ \binom {n}{2}} $ volte a destra
passiamo quindi a dimostrare che

$ \dispalystyle\frac{t}{n}+\frac{t(t-1)(t-2)}{n(n-1)(n-2)}\geq 2\frac{t(t-1)}{n(n-1)} $

cioè

$ \dispalystyle(n-1)(n-2)+(t-1)(t-2)\geq 2(t-1)(n-2) $


che si fa abb bene per induzione osservando anche che vale l'uguaglianza sse t=n cioè

$ A_1=A_2=\cdots=A_n $

[frengo]

tutto a posto, apparte un imprecisione sull'ultima parte(di quando vale l'uguaglianza)vai un pò a svolgere i calcoli delle parentesi e viene fuori una scomposizione carina...e capirai.comunque l'esercizio è risolto.
ciao ciao