Mi servirebbe una mano per questo problema:
Dato un triangolo rettangolo ABC, con AB ipotenusa e la bisettrice relativa all'ipotenusa CD, si sa che:
- AB = $ 2\sqrt{3}l $
- CD = $ l $
Devo conoscere l'angolo ABC (oppure CAB che è complementare).
Aiuto - problema di trigonometria
bon
Well... una nota proprietà della bisettrice è quella di dividere il lato opposto in segmenti proporzionali agli altri due lati, nel nostro caso:
$ [tex] $AD:AC=DB:CB \quad^{[*]}[/tex]; l'obiettivo è dunque determinare i membri della proporzione con i dati che fornisce il problema.
Anzitutto pongo l'angolo da trovare $ \angle ABC = \alpha $ ($ 0<\alpha<90° $), ed essendo il triangolo rettangolo, allora $ \displaystyle CB = 2\sqrt{3}l\cos\alpha \qquad $ e $ \displaystyle \qquad AC = 2\sqrt{3}l\sin\alpha $.
Poi, applicando il teorema dei seni nel triangolo $ ACD $, ho che
$ \displaystyle \frac {CD}{\sin (90°-\alpha)} = \frac {AD}{\sin 45°} \qquad $, per cui $ \displaystyle \qquad AD = \frac {\sqrt{2}l}{2\cos\alpha} \qquad $, e quindi $ \displaystyle \qquad DB=AB-AD=2\sqrt{3}l-\frac {\sqrt{2}l}{2\cos\alpha} $.
Ora sappiamo tutti i lati in funzione di $ \alpha $, sostituendoli in $ [tex] $^{ [*]}[/tex] e facendo gli opportuni prodotti, si ha che:
$ \displaystyle \frac {\sqrt{2}l}{2\cos\alpha}\cdot 2\sqrt{3}l\cos\alpha=2\sqrt{3}l\sin\alpha\cdot $$ \displaystyle \left (2\sqrt{3}- \frac {\sqrt{2}l}{2\cos\alpha}\right ) $.
Dopo semplici passaggi e semplificazioni (basta chiedere se non dovessero parere semplici), si arriva a
$ \displaystyle \sin\alpha +\cos\alpha=2\sqrt{6}\sin\alpha\cos\alpha \quad $; elevando ambo i membri al quadrato:
$ \displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha=24\sin^2\alpha\cos^2\alpha $.
Ora, si sa che $ sin^2\alpha+\cos^2\alpha = 1 $, pertanto ci si riduce a trovare le soluzioni dell'equazione
$ \displaystyle 24\sin^2\alpha\cos^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha - 1=0 $. Quella negativa è da scartare, quella accettabile è
$ \displaystyle \sin\alpha\cos\alpha=\frac{1} {4} \quad \Longrightarrow \quad 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac {1}{2} \quad \Longrightarrow $$ \displaystyle \quad \sin2\alpha = \frac{1}{2} \quad \Longrightarrow \quad 2\alpha = 30° \vee 150°\quad \Longrightarrow \quad \alpha=15° \vee 75° $.
$ [tex] $AD:AC=DB:CB \quad^{[*]}[/tex]; l'obiettivo è dunque determinare i membri della proporzione con i dati che fornisce il problema.
Anzitutto pongo l'angolo da trovare $ \angle ABC = \alpha $ ($ 0<\alpha<90° $), ed essendo il triangolo rettangolo, allora $ \displaystyle CB = 2\sqrt{3}l\cos\alpha \qquad $ e $ \displaystyle \qquad AC = 2\sqrt{3}l\sin\alpha $.
Poi, applicando il teorema dei seni nel triangolo $ ACD $, ho che
$ \displaystyle \frac {CD}{\sin (90°-\alpha)} = \frac {AD}{\sin 45°} \qquad $, per cui $ \displaystyle \qquad AD = \frac {\sqrt{2}l}{2\cos\alpha} \qquad $, e quindi $ \displaystyle \qquad DB=AB-AD=2\sqrt{3}l-\frac {\sqrt{2}l}{2\cos\alpha} $.
Ora sappiamo tutti i lati in funzione di $ \alpha $, sostituendoli in $ [tex] $^{ [*]}[/tex] e facendo gli opportuni prodotti, si ha che:
$ \displaystyle \frac {\sqrt{2}l}{2\cos\alpha}\cdot 2\sqrt{3}l\cos\alpha=2\sqrt{3}l\sin\alpha\cdot $$ \displaystyle \left (2\sqrt{3}- \frac {\sqrt{2}l}{2\cos\alpha}\right ) $.
Dopo semplici passaggi e semplificazioni (basta chiedere se non dovessero parere semplici), si arriva a
$ \displaystyle \sin\alpha +\cos\alpha=2\sqrt{6}\sin\alpha\cos\alpha \quad $; elevando ambo i membri al quadrato:
$ \displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha=24\sin^2\alpha\cos^2\alpha $.
Ora, si sa che $ sin^2\alpha+\cos^2\alpha = 1 $, pertanto ci si riduce a trovare le soluzioni dell'equazione
$ \displaystyle 24\sin^2\alpha\cos^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha - 1=0 $. Quella negativa è da scartare, quella accettabile è
$ \displaystyle \sin\alpha\cos\alpha=\frac{1} {4} \quad \Longrightarrow \quad 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac {1}{2} \quad \Longrightarrow $$ \displaystyle \quad \sin2\alpha = \frac{1}{2} \quad \Longrightarrow \quad 2\alpha = 30° \vee 150°\quad \Longrightarrow \quad \alpha=15° \vee 75° $.
Tu chiamale, se vuoi, emozioni.
Re: bon
Con un'equazione leggermente differente ero arrivato pure io a $ \displaystyle \quad \sin2\alpha = \frac{1}{2} \quad $.
Solo che da li ho dedotto $ \displaystyle \quad \sin2\alpha = \frac{1}{2} \quad \Longrightarrow \quad 2\alpha = 30° \quad \Longrightarrow \quad \alpha=15° $ e come un deficiente mi sono mangiato una soluzione, che tra l'altro era quella della prof.
Per fortuna non sono stato interrogato io con questo problema.
Grazie per la soluzione.
Solo che da li ho dedotto $ \displaystyle \quad \sin2\alpha = \frac{1}{2} \quad \Longrightarrow \quad 2\alpha = 30° \quad \Longrightarrow \quad \alpha=15° $ e come un deficiente mi sono mangiato una soluzione, che tra l'altro era quella della prof.
Per fortuna non sono stato interrogato io con questo problema.
Grazie per la soluzione.