Tornare a casa è rischioso...

[Bacco]

Bene bene... tornando da Senigallia in autostrada ho visto una macchina che frenava e mi è venuto in mente il seguente

Problema (di mia invenzione ):

uno strano veicolo in totale ha massa $ M=1500 kg $ e ognuna delle sue $ n=7 $ ruote ha massa $ m=10 kg $, raggio $ R= 0,4 m $ e momento d'inerzia $ kmR^2 $ dove $ k=\frac{1}{2} $ è un coefficiente che dipende dalla forma della ruota (ovvero dalla distribuzione della massa, in quanto la percentuale di macchine con ruote quadrate o triangolari è di certo trascurabile sul totale... ). I freni sono a disco, e la forza frenante $ F_p $ delle pasticche è applicata a distanza $ r=0,35 m $ dall'asse, in direzione orizzontale. Il coeff. d'attrito tra gomma e asfalto è $ \mu=0,8 $. L'attrito volvente è trascurabile. Il mozzo (ovvero l'asse di rotazione) della ruota si danneggia se viene sottoposto da parte della ruota ad una forza orizzontale $ F_{m-oriz}>1700 N $.

Il veicolo viaggia a $ v_0=25 ms^{-1} $ quando il conducente vede un ostacolo a distanza $ d=135 m $. Egli frena subito aumentando in modo lineare la forza sul pedale, facendo in modo che sia $ F_p=(200 Ns^{-1})\cdot t $.


Riuscirà a fermarsi prima di urtare l'ostacolo? Con quanto spazio di margine?
Il mozzo sarà sottoposto ad uno sforzo eccessivo?
In caso affermativo, per quanto tempo?


Se invece $ \mu=0,3 $, il veicolo urterà l'ostacolo?
In caso affermativo, con quale velocità?
Quanto spazio sarebbe ancora servito al veicolo per arrestarsi?



Bene, ora buon lavoro e guidate piano!
In bocca al lupo a chiunque abbia voglia di cimentarsi!

Ciao

[Bacco]

Ah, dimenticavo: magari aspettate qualche giorno a postare le (spero numerose) soluzioni, così più utenti possono cimentarsi.

[NEONEO]

Scusa Marco, ma nn ho capito una cosa: la forza frenante $ F_p $ è di compressione? cioè è diretta parallelamente all'asse che collega le due ruote o è orizzontale nel senso che non è di compressione ma è già l'effetto calcolato lungo la direzione del moto?
Spero di essermi spiegato...

[NEONEO]

cmq è un bel problema.....Bravo!

[Bacco]

E' già l'effetto frenante tutto compreso, infatti non è dato il coeff. d'attrito sul disco.

[__Cu_Jo__]

Allora...All'inizio ho tentato il teorema dell'energia cinetica ma non ne è uscito nulla di buono...Vabbè,non mi resta altro che usare la cara legge di newton.
Il momento della forza premente rispetto all'asse della ruota è:
$ \displaystyle \tau _{F_p } = -F_p r = -70t\,\,\,\frac{{Nm}}{s} $ (il segno meno indica che la forza produce una rotazione oraria)
Penso che la forza peso sia equidistribuita nelle 7 ruote.Quindi la reazione vincolare in ogni ruota è $ \displaystyle N = \frac{1}{7}Mg $.La forza d'attrito si oppone allo strisciamento, produce quindi un momento rispetto all'asse della ruota pari a $ \displaystyle \tau _f = -\frac{1}{7}Mg\mu R = 672\,\,\,\frac{{Nm}}{s} $.
A questo punto per la legge di Newton:
$ \displaystyle I\alpha = \tau _f + \tau _{F_p } $
Il momento d'inerzia è $ \displaystyle I = \frac{1}{2}mR^2 = 0,8Kgm^2 $ e l'accelerazione angolare si può scrivere come $ \displaystyle - \frac{a}{R} $ dove a è l'accelerazione lineare.

$ a = -35t + 336 $
$ v = \int {adt = 17,5t^2 - 336t + v_0 = } -17,5t^2 + 336t + 25 $
$ s = \int {vdt} = - 5,83t^3 + 168t^2 + 25t $
Per vedere quando il corpo si erma si annulla la velocità,poi col tempo trovato si calcola lo spazio.Dove ho sbagliato?

[Iron_Man]

$ \displaystyle \tau _f = -\frac{1}{7}Mg\mu R = 672\,\,\,\frac{{Nm}}{s} $

Mi sento molto stupido a chiederlo ma l'unità di misura non dovrebbe essere solo $ Nm $

[Bacco]

La forza d'attrito si oppone allo strisciamento, produce quindi un momento rispetto all'asse della ruota pari a $ \displaystyle \tau _f = -\frac{1}{7}Mg\mu R = 672\,\,\,\frac{{Nm}}{s} $.

Sicuro? Credo che ciò sia vero solo se la ruota sta per iniziare a strisciare; in realtà sappiamo solo che la forza d'attrito non supera quel valore, ma non sappiamo quanto è. Occorre un ragionamento più raffinato, anche in vista della seconda parte del problema...


Chiaramente l'u.d.m. del momento è quella che dice Iron_Man.

[BMcKmas]

E' indifferente su dove si trovano le pastiglie del freno ripetto all'asse della ruota? Sopra o sotto?

ciao

[Bacco]

Sì credo proprio sia indifferente.

[tuvok]

Io ho ragionato così:
dette $ F_a $ e $ F\, $ la forza di attrito totale e quella totale generata dai freni, valgono le seguenti relazioni
$ F_a+F=Ma $
$ RF_a+rF=I\alpha $
Imponendo la condizione di rotolamento puro $ a=\alpha R $ e tenendo conto che il momento d'inerzia totale delle 7 ruote vale $ I=\frac{7}{2}mR^2 $ si ottiene la seguente
$ F_a+\frac{r}{R}F=\frac{7}{2}ma $, che combinata con la prima relazione porta a
$ a=\frac{2F}{2M-7m} \left(1-\frac{r}{R} \right) $, da cui si ricava
$ F_a=Ma-F $
Il problema si risolve tenendo conto che $ F=(1400Ns^{-1})\cdot t $
Bisogna tuttavia tenere conto che si può avere rotolamento puro fino a quando $ F_a<\mu Mg $: quando la forza di attrito richiesta per il rotolamento supera il valore massimo possibile $ \mu Mg $ , infatti, il veicolo inizia a slittare. L'equazione che regolerà il moto durante lo slittamento sarà
$ \mu Mg+F=Ma $ (poichè la $ F_a $ non può superare il valore massimo richiesto e si suppone che le ruote non si blocchino completamente con la frenata)
Lo slittamento avviene proprio perchè la forza frenante di cui è responsabile il pedale non è costante ma cresce con il tempo, e dopo un po' raggiunge un valore critico che fa slittare il veicolo; ovviamente più $ \mu \, $ è piccolo, prima il valore critico di tale forza verrà raggiunto.
I conti numerici non li ho fatti perchè sono pigro

[NEONEO]

Ciao, ho letto il post di Tuvok, ma non sono d'accordo con la seconda equazione che hai scritto: $ RF_a+rF=I\alpha $
A mio parere in quanto $ F $ agisce opponendosi al moto di rotazione della ruota e invece $ F_a $ ha lo stesso verso della velocità tangenziale della ruota a contatto con il suolo, allora l'equazione giusta è : $ 1/7RF_a-rF_p=I_1\alpha $ , dove con $ F_a $ indico la forza di attrito totale agente sulla somma di tutte e sette le ruote, e con $ F_p $ la forza frenante dei freni su una singola ruota, ed equivale dunque a $ 1/7F $, e con $ I_1 $ il momento di inerzia di una singola ruota, cioè $ 3/2mR^2 $, poichè essa oltre a ruotare attorno al proprio asse si muove ruotando anche su un asse a distanza $ R $ dal baricentro (teorema di Steiner) (però non sono sicuro...pensateci).
Inoltre non sono d'accordo neanche con la prima equazione, poichè se la ruota continua a girare credo che l'unica forza che ompia lavoro sia la $ F_p $. Quindi a mio parere occorre applicare il principio di conservazione dell'energia, usando l'equazione scritta sopra solo per le condizioni limite che anche Tuvok ha evidenziato. Ditemi se è corretta questa interpretazione. Grazie.

[NEONEO]

Quindi applicando la conservazione dell'energia si ha:
$ 1/2v_0^2(M+7/2m)=7\frac{r}{R}\int_0^s F_pds $ dove $ s $ è lo spazio percorso sperando che il moto sia sempre in queste ipotesi, cioè la $ F_a $ forza di attrito totale, non superi il valore limite $ \mu Mg $ altrimenti occorre scomporre i moti.
Perciò ...prima cosa da fare è trovare quando la forza di attrito supera questo valore.

[NEONEO]

Scusate, due post fa miei ho commesso un errore: il momento di inerzia $ I_1 $ è riferito ad un asse di rotazione che non passa per il centro della ruota ma che è supposto a contatto con il suolo, nel punto di contatto. Proviamo a reipostare l'equazione da questo punto di riferimento:
$ -F_p(R+r)=I_1\alpha $, e così la forza di attrito non compare perchè ha momento nullo.

[NEONEO]

Però nn mi sembra giusto cmq perchè l'accelerazione angolare in questo modo sarebbe indipendente dalla massa totale, cosa assurda. Questa equazione che ho scritto è giust se lo si applica ad una ruota da sola che rotola su un piano orizzontale, però da sola!!!