ragazzi ho un problema:
sia una matrice $ A\in\mathbb{C}^{n\times{n}} $ invertibile.
Data una E qualunque tale che $ E\in\mathbb{C}^{n\times{n}} $, dimostrare che esiste $ \alpha $ tale che per ogni $ \epsilon < \alpha $ la matrice B sotto definita è sempre invertibile:
sia $ B=A+\epsilon{E} $, sapendo che $ \epsilon < \alpha $, trovare il massimo $ \alpha $ affinchè B sia ancora invertibile.
davvero non so da dove cominciare...
Matrici invertibili
Suppongo che E sia la matrice identità nxn, sennò quel che segue non ha senso :
considera una qualunque norma matriciale indotta $ \|\cdot\| $ (ovvero, una norma indotta da una corrispettiva norma $ \|\cdot\|_V $ su $ \mathbb{C}^n $ nel seguente modo :
$ $\|A\|=\sup_{x\in\mathbb{C}^n\setminus\{0\}} \frac{\|Ax\|_V}{\|x\|_V}$ $
); allora, possiamo parlare di convergenza di una successione (e quindi anche di una serie) di matrici, perchè la convergenza in norma assicura la convergenza delle immagini.
Ad esempio, la serie $ $\sum_{i=0}^\infty T^i$ $ converge, se $ \|T\|<1 $, a $ $\frac{1}{E-T}=(E-T)^{-1}$ $.
Ora, se $ $\epsilon<\alpha=\frac{1}{\|A^{-1}\|} $, la serie
$ $A^{-1}\sum_{i=0}^\infty(-\epsilon A^{-1})^i$ $ converge a $ $\frac{1}{A}\frac{1}{E+\epsilon A^{-1}}=\frac{1}{A+\epsilon E}=(A+\epsilon E)^{-1}$ $.
Quindi puoi scegliere $ $\alpha=\sup_{\|\cdot\| \textrm{ N.M.I.}}\frac{1}{\|A^{-1}\|}$ $. Questa condizione non è vuota : tanto per fare un esempio la matrice identità ha norma 1 per qualunque N.M.I., quindi se A=E,$ \alpha=1 $ perchè (A-E)=(E-E)=0 non è di certo invertibile.
Spero sia quel che volevi.
considera una qualunque norma matriciale indotta $ \|\cdot\| $ (ovvero, una norma indotta da una corrispettiva norma $ \|\cdot\|_V $ su $ \mathbb{C}^n $ nel seguente modo :
$ $\|A\|=\sup_{x\in\mathbb{C}^n\setminus\{0\}} \frac{\|Ax\|_V}{\|x\|_V}$ $
); allora, possiamo parlare di convergenza di una successione (e quindi anche di una serie) di matrici, perchè la convergenza in norma assicura la convergenza delle immagini.
Ad esempio, la serie $ $\sum_{i=0}^\infty T^i$ $ converge, se $ \|T\|<1 $, a $ $\frac{1}{E-T}=(E-T)^{-1}$ $.
Ora, se $ $\epsilon<\alpha=\frac{1}{\|A^{-1}\|} $, la serie
$ $A^{-1}\sum_{i=0}^\infty(-\epsilon A^{-1})^i$ $ converge a $ $\frac{1}{A}\frac{1}{E+\epsilon A^{-1}}=\frac{1}{A+\epsilon E}=(A+\epsilon E)^{-1}$ $.
Quindi puoi scegliere $ $\alpha=\sup_{\|\cdot\| \textrm{ N.M.I.}}\frac{1}{\|A^{-1}\|}$ $. Questa condizione non è vuota : tanto per fare un esempio la matrice identità ha norma 1 per qualunque N.M.I., quindi se A=E,$ \alpha=1 $ perchè (A-E)=(E-E)=0 non è di certo invertibile.
Spero sia quel che volevi.
Oh, scusa, non avevo letto ...
beh, riproviamoci : tu vuoi trovare $ \alpha>0 $ tale che se $ |\epsilon|<\alpha $ allora $ A+\epsilon E $ è invertibile, ovvero $ \det(A+\epsilon E)\neq 0 $.
Ora, quel determinante è un polinomio in $ \epsilon $, indichiamolo con $ p(\epsilon) $. Sappiamo che $ p(0)\neq0 $; p avrà un numero finito di radici, $ z_1,\ldots, z_k $ (tutte non nulle) e quindi ha senso scegliere la radice $ z $ di minimo modulo positivo.
A questo punto è ovvio che $ \alpha=|z| $ soddisfa alla richiesta del problema.
Non so se sia possibile dare una descrizione più esplicita di |z| in termini di A ed E, in quanto questo equivarrebbe a scrivere in maniera polinomiale la più piccola radice di un polinomio in funzione dei suoi coefficienti ... il che mi suona assai sospetto.
beh, riproviamoci : tu vuoi trovare $ \alpha>0 $ tale che se $ |\epsilon|<\alpha $ allora $ A+\epsilon E $ è invertibile, ovvero $ \det(A+\epsilon E)\neq 0 $.
Ora, quel determinante è un polinomio in $ \epsilon $, indichiamolo con $ p(\epsilon) $. Sappiamo che $ p(0)\neq0 $; p avrà un numero finito di radici, $ z_1,\ldots, z_k $ (tutte non nulle) e quindi ha senso scegliere la radice $ z $ di minimo modulo positivo.
A questo punto è ovvio che $ \alpha=|z| $ soddisfa alla richiesta del problema.
Non so se sia possibile dare una descrizione più esplicita di |z| in termini di A ed E, in quanto questo equivarrebbe a scrivere in maniera polinomiale la più piccola radice di un polinomio in funzione dei suoi coefficienti ... il che mi suona assai sospetto.
