Catena di resistori

[Flavio5x]

Ecco un altro problemino che mi è venuto in mente e che ho risolto in modo, credo, abbastanza furbo.
Non so se sia un classico e se ci sia della letteratura in merito.
Invito comunque chi vorrà proporre una soluzione a confessare se sia o meno farina del suo sacco.

Problema

Sia data una catena di resistori come in figura, di lunghezza infinita.
I resistori siano tutti uguali e la resistenza di ciascuno sia R.
Si chiede di calcolare il valore della resistenza equivalente ai morsetti A-B
e di illustrare il procedimento di calcolo.

[alexp]

Allora vediamo un po'
Si può considerare che R totale sia uguale a un collegamento in parallelo tra R0 e tutto il resto.
Tutto il resto a sua volta può essere considerato come un collegamento in serie tra R1 e tutto il resto, che a sua volta è un collegamento in parallelo tra R2 e tutto il resto etc etc. quindi alla fine
$ R = \frac 1 R + \frac 1 {R + \frac 1 R + \frac 1 {R + \frac 1 R + \frac 1 { R + \frac 1 R + \frac 1 \ddots }}} $

cosate ne pare?

[Flavio5x]

Uhm...
Sì, a parole vabbè, ma...
Intanto il parallelo di due resistenze si trova facendo non 1/R1+1/R2, ma R1R2/(R1+R2).
Poi se ti chiedo che numero esce dal calcolo di queste infinite scatole cinesi temo che tu avresti qualche difficoltà a calcolarlo.
No, il metodo deve essere più furbo in modo da portare ad operazioni eseguibili.
Tanto per cominciare bisogna ridisegnare la rete in un modo più utile (almeno per risolvere nel modo che ho in testa io).
Poi occorre un'illuminazione...
Al momento non dico di più, lascio ad altri la possibilità di cimentarsi.

[engineer85]

credo di aver trovato una soluzione:

è intanto essenziale operare una conversione della rete stella triangolo in modo da portare tutti i triangoli nella rete in stelle; in questo modo si vede che sui lati esterni del tracciato elettrico non ci sono più resistenze e poichè la corrente segue sempre il percorso più facile essa corre completamente lungo i lati trascurando completamente le resistenze, quindi fra A e B non c'è nessuna d.d.p!
come ti pare?

[Flavio5x]

Non mi pare proprio, ripensaci. Ti assicuro che una resistenza equivalente esiste. Si vede anche a occhio che non può essere zero.

[BMcKmas]

$ R(\sqrt5 -1)/2 $

è giusto?

[Flavio5x]

Ok
Sapevo che ci saresti arrivato!
Se vuoi puoi spiegare come hai fatto, altrimenti lo spiego io.

[BMcKmas]

A te l'onore e l'onere .... e la scelta del tempo

ciao

[Flavio5x]

Appello a tutti coloro che pur essendosi cimentati col problema non sono ancora riusciti a risolverlo: come vedete la soluzione c'è davvero, non è un mio incubo notturno (altrimenti avremmo avuto in due lo stesso incubo, cosa assai poco probabile). Volete entrare anche voi nel club dei risolutori? Fate presto, perché le iscrizioni si chiudono alla mezzanotte in punto di uno qualsiasi dei prossimi giorni (notate la precisione assoluta!).

[Bacco]

ganzo questo problema!

Lìidea è nota ed è quella standard in caso di reti infinite:

http://olimpiadi.sns.it/oliForum/viewtopic.php?t=5258

[Flavio5x]

Mi era venuto il sospetto che ci fosse della letteratura in merito! Ma essendo nuovo di questo forum mi mancava la memoria storica. Comunque è sempre bello scoprire qualcosa, anche se altri l'hanno scoperto prima, basta non saperlo!

[memedesimo]

L'espressione di alexp si può semplificare notando che quello che sta
"a destra del primo "+" nel denominatore della frazione continua" è uguale a
"tutto quello che sta a destra dell'uguale nell'espressione",
quindi (indico con R la resistenza totale e con r le resistenze minori)

1/r+1/[r+R]=R

(scusate la rozzezza ma non ho idea di come si scrivano le formule nel modo figo con cui lo fate voi)[/tex]

[BMcKmas]

E' difficile essere originali!
Proviamo a risolvere il problema nel caso in cui le resistenze che formano l'unità triangolare sono diverse, come nello schema di alexp?

ciao

@memedesimo
forse devi fare il recipoco del secondo membro

[memedesimo]

mumble...boh... a me sembra che venga così l'espressione di alexp...comunque o io o alexp abbiamo sbagliato, perchè il risultato viene sbagliato

[Flavio5x]

Riassumo.
Il modo furbo di risolvere il problema è il seguente:
1) Chiamo Req la resistenza equivalente incognita ai morsetti A-B
2) Individuo la "cella" di resistori che si ripete sempre uguale; nel problema originario è la "L" formata dai primi 2 resistori (le successive celle sono celle a "L" capovolte e diritte alternativamente, ma la sostanza non cambia)
2) Togliendo idealmente la prima cella, la rete restante si presenta identica alla rete originaria (visto che infinito-1 resta sempre infinito), dunque la sua resistenza equivalente ai morsetti di ingresso la posso chiamare ancora Req.
3)Considero la semplice rete costituita dalla sola prima cella a cui aggiungo in coda Req; questa semplice rete è equivalente alla rete originaria e dunque presenta sempre Req ai morsetti di ingresso A-B
4) Risolvo l'equazione di 2° grado nell'incognita Req, e così la determino.
Nel caso più complicato proposto da BMcKmas, sono costretto a prendere una cella elementare più grande costituita da 4 resistori, ma il procedimento è lo stesso.
Per chi non si intende di linee elettriche: questa resistenza che si presenta sempre uguale in qualsiasi punto di una linea infinita o correttamente caricata (adattata) si chiama impedenza caratteristica della linea (vale anche nel caso più frequente di linee induttive/capacitive, vedi ad esempio i classici 75 Ohm del cavo TV).