Come faccio a stabilire se un funzione è continua in un compatto $ [a; b] $ e derivabile in $ ]a;b[ $ ?
Mi spiego, i criteri di derivabilità o di continuità sono abblicabili solo in un punto o possono essere estesi ad un intervallo?
Come ad esempio posso spere che $ y=|x| $ ha un punto critico in $ x=0 $ ? Intuitivamente è facilmente deducibile ma esiste un metodo che mi permette di individuare data una funzione tutti i suoi punti critici?
Derivabilità
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MdF
Per la definizione stessa di derivata, essa può essere considerata in un punto o (più comunemente) in un intervallo. La definizione di rapporto incrementale si basa su un intervallo che facciamo diventare infinitesimale, ma sempre di intervallo stiamo parlando.
Tieni presente che, se una funzione è derivabile, sicuramente è continua. La continuità è una condizione necessaria (anche se non sufficiente) alla derivabilità della funzione. Se nel punto che consideri la funzione non è derivabile, ma esistono e sono diverse le due derivate destra e sinistra (calcolate, cioè, a destra e a sinistra del punto), quello è un punto angoloso. Nel caso analogo in cui le derivate dx e sx siano infinite, hai una cuspide.
È diverso se parli di discontinuità.
Esistono metodi per rilevare i punti di discontinuità di una funzione derivabile. Questi sono elementari per chi studia analisi (es. periti industriali) e la applica nello studio di funzione, forse un po' meno per i liceali. Quindi ti spiegherò la parte di analisi.
I punti di discontinuità sono di 3 tipi a seconda dei valori assunti dai limiti destro e sinistro, calcolati nei punti agli estremi degli intervalli di esistenza della funzione. Questo è fondamentale: devi considerare i punti dove la funzione non esiste.
es. se hai una funzione che esiste in ]-1,0[ e non esiste in -1/2, devi calcolare:
il suo limite sinistro nel punto -1
il suo limite destro nel punto 0
entrambi i suoi limiti in -1/2
Le discontinuità (nel punto considerato) sono:
- di I specie, se i due limiti sono diversi;
- di II specie, se almeno uno dei due limiti non esiste o tende all'infinito (cioè, dà luogo ad asintoto);
- di III specie o ELIMINABILE, se i due limiti sono uguali e uguali pure al valore che assume la funzione in quel punto, però con una delle seguenti condizioni aggiuntive:
1) la funzione non esiste in quel punto;
2) la funzione in quel punto assume un valore diverso, rispetto a quello che dovrebbe avere (e cioè al suo limite nel punto).
Ecco trovato il metodo matematico per ricercare i punti di discontinuità. Ovviamente si può estendere la ricerca ad altre particolarità della funzione relative a questi punti (tangenti inflessionali, etc.) che tralascio.
Nel caso che citi, è evidente geometricamente che nel punto x=0 c'è un punto angoloso, perché la sua derivata da destra è 1 e quella da sinistra -1 (la derivata è, geometricamente, il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione nel punto considerato). Però non c'è discontinuità, perché se calcoli i limiti essi sono tutti 0, che è uguale al valore che assume la funzione per x=0 (cioè y=0).
Quindi quello è un punto critico ma non per la derivabilità della funzione.
Spero di essere stato esauriente e non aver dimenticato nulla, se c'è qualche problema formale o dimenticanza vedrò di correggere il tiro.
Tieni presente che, se una funzione è derivabile, sicuramente è continua. La continuità è una condizione necessaria (anche se non sufficiente) alla derivabilità della funzione. Se nel punto che consideri la funzione non è derivabile, ma esistono e sono diverse le due derivate destra e sinistra (calcolate, cioè, a destra e a sinistra del punto), quello è un punto angoloso. Nel caso analogo in cui le derivate dx e sx siano infinite, hai una cuspide.
È diverso se parli di discontinuità.
Esistono metodi per rilevare i punti di discontinuità di una funzione derivabile. Questi sono elementari per chi studia analisi (es. periti industriali) e la applica nello studio di funzione, forse un po' meno per i liceali. Quindi ti spiegherò la parte di analisi.
I punti di discontinuità sono di 3 tipi a seconda dei valori assunti dai limiti destro e sinistro, calcolati nei punti agli estremi degli intervalli di esistenza della funzione. Questo è fondamentale: devi considerare i punti dove la funzione non esiste.
es. se hai una funzione che esiste in ]-1,0[ e non esiste in -1/2, devi calcolare:
il suo limite sinistro nel punto -1
il suo limite destro nel punto 0
entrambi i suoi limiti in -1/2
Le discontinuità (nel punto considerato) sono:
- di I specie, se i due limiti sono diversi;
- di II specie, se almeno uno dei due limiti non esiste o tende all'infinito (cioè, dà luogo ad asintoto);
- di III specie o ELIMINABILE, se i due limiti sono uguali e uguali pure al valore che assume la funzione in quel punto, però con una delle seguenti condizioni aggiuntive:
1) la funzione non esiste in quel punto;
2) la funzione in quel punto assume un valore diverso, rispetto a quello che dovrebbe avere (e cioè al suo limite nel punto).
Ecco trovato il metodo matematico per ricercare i punti di discontinuità. Ovviamente si può estendere la ricerca ad altre particolarità della funzione relative a questi punti (tangenti inflessionali, etc.) che tralascio.
Nel caso che citi, è evidente geometricamente che nel punto x=0 c'è un punto angoloso, perché la sua derivata da destra è 1 e quella da sinistra -1 (la derivata è, geometricamente, il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione nel punto considerato). Però non c'è discontinuità, perché se calcoli i limiti essi sono tutti 0, che è uguale al valore che assume la funzione per x=0 (cioè y=0).
Quindi quello è un punto critico ma non per la derivabilità della funzione.
Spero di essere stato esauriente e non aver dimenticato nulla, se c'è qualche problema formale o dimenticanza vedrò di correggere il tiro.
Innanzitutto, una funzione si dice (continua/derivabile) su un aperto se è (continua/derivabile) in ogni punto di quell'aperto.
Poi, sugli estremi di un intervallo una funzione si dice continua se il limite (destro/sinistro) nell'estremo (sinistro/destro) coincide con il valore della funzione nell'estremo (sinistro/destro).
Detto ciò ... non c'è un metodo sicuro per vedere quali sono i punti antipatici di una funzione : se è definita a pezzetti, ovvero, su questo intervallo così su quell'altro cosà, ti basterà controllare gli estremi degli intervalli (controllare se i vari pezzi "si incollano bene"); se contiene radici e moduli, dovrai controllare dove i loro argomenti cambiano segno o si annullano; se è data da una serie o da una successione di funzioni dovrai cercare di utilizzare i criteri di convergenza uniforme che implicano la continuità o la derivabilità del limite; se ancora è definita in maniera più stramba, dovrai affidarti all'intuizione e poi cercare di dimostrare quel che hai intuito.
Ad esempio :
$ f(x)=|x| $ è una funzione continua ovunque e derivabile fuori dallo zero, in quanto può essere scritta così :
$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x&x\geq0\\-x&x\leq0\end{array}\right. $
sugli aperti $ (0,\infty) $ e $ (-\infty,0) $ le funzioni $ g_1(x)=x $ e $ g_2(x)=-x $ sono continue e derivabili e quindi lo è anche f; per la continuità in zero, basta osservare che
$ \displaystyle{\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}g_2(x)=f(0)=\lim_{x\to0^+}g_1(x)=\lim_{x\to0^+}f(x) $
mentre per la non derivabilità, vediamo che
$ \displaystyle{\lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=-1\neq1=\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}} $
Altre funzioni interessanti sono
$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0&x=0\\x\sin(1/x)&x\neq0\end{array}\right. $
$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0&x=0\\x^2\sin(1/x)&x\neq0\end{array}\right. $
$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0&x\not\in\mathbb{Q}\\x^2&x\in\mathbb{Q}\end{array}\right. $
$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0&x\not\in\mathbb{Q}\\q^{-2}&x=p/q \in \mathbb{Q}\end{array}\right. $
$ f(x)=\sum_{n\geq0}\frac{\phi(2^nx)}{2^n} $ con $ \phi(x)=\inf_{m\in\mathbb{Z}}|x-m| $ (la funzione a dente di sega)
Poi, sugli estremi di un intervallo una funzione si dice continua se il limite (destro/sinistro) nell'estremo (sinistro/destro) coincide con il valore della funzione nell'estremo (sinistro/destro).
Detto ciò ... non c'è un metodo sicuro per vedere quali sono i punti antipatici di una funzione : se è definita a pezzetti, ovvero, su questo intervallo così su quell'altro cosà, ti basterà controllare gli estremi degli intervalli (controllare se i vari pezzi "si incollano bene"); se contiene radici e moduli, dovrai controllare dove i loro argomenti cambiano segno o si annullano; se è data da una serie o da una successione di funzioni dovrai cercare di utilizzare i criteri di convergenza uniforme che implicano la continuità o la derivabilità del limite; se ancora è definita in maniera più stramba, dovrai affidarti all'intuizione e poi cercare di dimostrare quel che hai intuito.
Ad esempio :
$ f(x)=|x| $ è una funzione continua ovunque e derivabile fuori dallo zero, in quanto può essere scritta così :
$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x&x\geq0\\-x&x\leq0\end{array}\right. $
sugli aperti $ (0,\infty) $ e $ (-\infty,0) $ le funzioni $ g_1(x)=x $ e $ g_2(x)=-x $ sono continue e derivabili e quindi lo è anche f; per la continuità in zero, basta osservare che
$ \displaystyle{\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}g_2(x)=f(0)=\lim_{x\to0^+}g_1(x)=\lim_{x\to0^+}f(x) $
mentre per la non derivabilità, vediamo che
$ \displaystyle{\lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=-1\neq1=\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}} $
Altre funzioni interessanti sono
$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0&x=0\\x\sin(1/x)&x\neq0\end{array}\right. $
$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0&x=0\\x^2\sin(1/x)&x\neq0\end{array}\right. $
$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0&x\not\in\mathbb{Q}\\x^2&x\in\mathbb{Q}\end{array}\right. $
$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0&x\not\in\mathbb{Q}\\q^{-2}&x=p/q \in \mathbb{Q}\end{array}\right. $
$ f(x)=\sum_{n\geq0}\frac{\phi(2^nx)}{2^n} $ con $ \phi(x)=\inf_{m\in\mathbb{Z}}|x-m| $ (la funzione a dente di sega)
Ops ... abbiamo risposto contemporaneamente ... a questo punto, avrei qualcosa da dire (lo so, sono noioso...) su quanto detto da MdF :
1) formalmente, dove una funzione non esiste, non si può parlare di continuità di lei ... certo che, se la funzione ti è stata data definita su un intervallo in un modo e su un altro in un altro modo, devi verificare sugli estremi comuni di questi intervalli che tutto funzioni bene. Però, è sbagliato (anche se purtroppo al liceo così spesso insegnano) dire che la funzione f(x)=1/x è discontinua in 0 ... tale funzione in 0 non è definita, quindi non ha senso parlare della sua continuità in quel punto ... poi, si può dire che i due limiti destro e sinistro lì non coincidono, ma non è una discontinuità...
2) la continuità e la derivabilità sono concetti puntuali, cioè non si può dire nulla della continuità di una funzione in un intervallo sapendo solo che è continua in un punto e nemmeno si può per la derivabilità.
3) i metodi che tu proponi vanno bene, per l'appunto, per una funzione definita a tratti ... per alcuni degli esempi che ho fatto questi criteri sono inapplicabili.
1) formalmente, dove una funzione non esiste, non si può parlare di continuità di lei ... certo che, se la funzione ti è stata data definita su un intervallo in un modo e su un altro in un altro modo, devi verificare sugli estremi comuni di questi intervalli che tutto funzioni bene. Però, è sbagliato (anche se purtroppo al liceo così spesso insegnano) dire che la funzione f(x)=1/x è discontinua in 0 ... tale funzione in 0 non è definita, quindi non ha senso parlare della sua continuità in quel punto ... poi, si può dire che i due limiti destro e sinistro lì non coincidono, ma non è una discontinuità...
2) la continuità e la derivabilità sono concetti puntuali, cioè non si può dire nulla della continuità di una funzione in un intervallo sapendo solo che è continua in un punto e nemmeno si può per la derivabilità.
3) i metodi che tu proponi vanno bene, per l'appunto, per una funzione definita a tratti ... per alcuni degli esempi che ho fatto questi criteri sono inapplicabili.
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MdF
E infatti, per il poco che so, si parla di punti di discontinuità. Concetto che ho sempre fatto fatica ad accettare all'interno del disegno più ampio delle derivate, perché se una funzione è derivabile e all'interno non è continua mi sembra una situazione che faccia abbastanza a pugni con la logica.EvaristeG ha scritto:1) formalmente, dove una funzione non esiste, non si può parlare di continuità di lei ...
La funzione non era y = |x|? Che, tra l'altro, ho detto non essere discontinua, ma solo con punto angoloso. Invece confermo che viene insegnato (non solo al liceo) che nel punto x=0 di y=1/x è presente una discontinuità di II specie (asintoto verticale).EvaristeG ha scritto:Però, è sbagliato (anche se purtroppo al liceo così spesso insegnano) dire che la funzione f(x)=1/x è discontinua in 0 ...
Se ho detto così, è sbagliato grossolanamente. Però mi confermi che se una funzione è continua o derivabile in un intervallo, lo anche nei suoi punti interni. Sicuramente il contrario non è vero sempre, anzi.EvaristeG ha scritto:2) la continuità e la derivabilità sono concetti puntuali, cioè non si può dire nulla della continuità di una funzione in un intervallo sapendo solo che è continua in un punto e nemmeno si può per la derivabilità.
Infatti, con l'analisi, si trova (data una funzione qualsiasi) il campo di esistenza e cioè il dominio della funzione, definendo i tratti in cui esiste. Se poi ti viene detto dove esiste, tanto meglio. Altrimenti sta allo studente di funzione determinarlo, ed è il primo passo da fare (ricordo ad esempio le famigerate condizioni di esistenza per le equazioni razionali fratte).EvaristeG ha scritto:3) i metodi che tu proponi vanno bene, per l'appunto, per una funzione definita a tratti ... per alcuni degli esempi che ho fatto questi criteri sono inapplicabili.
Grazie per le risposte! Tuttavia non volevo una classificazione dei punti di discontinuità ma un modo per individuare i punti critici(che per quanto ne sappia non sono punti di discontinuità ma punti in cui la derivata prima è 0 oppure non esiste).
Quindi, evariste se ho capito bene, non c'è un modo per estendere i criteri derivabilità e continuità in tutto un intervallo e nemmeno un metodo per stabilire i punti critici?
Già che ci siamo come si giustifica ad esempio che y=x è continua in tutto R se la continuità è un concetto puntuale? Si cerca un falsificatore di tale ipotesi piuttosto che
infinite prove? Ho esiste un metodo induttivo valido?
In altri termini dire che Y=x è continua in R intuitivamente è logico, scontato! Si ma formalmente come si giustifica?
Quindi, evariste se ho capito bene, non c'è un modo per estendere i criteri derivabilità e continuità in tutto un intervallo e nemmeno un metodo per stabilire i punti critici?
Già che ci siamo come si giustifica ad esempio che y=x è continua in tutto R se la continuità è un concetto puntuale? Si cerca un falsificatore di tale ipotesi piuttosto che
infinite prove? Ho esiste un metodo induttivo valido?
In altri termini dire che Y=x è continua in R intuitivamente è logico, scontato! Si ma formalmente come si giustifica?
Ehm ... chiama $ f(x)=x $; fissato $ x_0\in\mathbb{R} $
$ \lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}x=x_0=f(x_0) $
quindi f è continua.
Ora, somma di funzioni continue su un aperto U è continua su U; prodotto di funzioni continue su U è continuo su U, quindi tutti i polinomi sono funzioni continue.
Se poi $ f,g:U\to\mathbb{R} $ sono continue e $ g(x)\neq0 $ su U, allora f/g è una funzione continua su U. Quindi un rapporto di polinomi è continuo fuori dall'insieme di zeri del denominatore.
Infine, se f,g sono continue e $ \textrm{Img}(f)\subseteq\textrm{Dom}(g) $, allora $ g\circ f (x)=g(f(x)) $ è continua. Quindi, assumendo per buono che l'esponenziale sia continuo, $ h(x)=e^{f(x)} $ è una funzione continua.
(Tutto ciò vale pure per le funzioni derivabili)
Il fatto è che non c'è una caratterizzazione globale (cioè che non riguarda i limiti) delle funzioni continue ... o meglio, ce n'è, ma non di utili per determinare comodamente quando una funzione è continua o meno.
In generale, visto che le funzioni che ti troverai di fronte di solito sono descritte da formule più o meno complicate contenenti le 4 operazioni e un po' di funzioni "note" (sin cos exp tan log etc etc), la cosa migliore è tentare di scrivere esplicitamente la derivata e determinarne il massimo dominio possibile (il massimo sottoinsieme di R su cui essa è definita); poi facendo i limiti agli estremi di questo dominio potrai verificare se tale derivata esiste o meno in quei punti (negli altri, ovviamente, non c'è problema, perchè hai una formula per la tua derivata).
Comunque, attenzione, non funziona tutto sempre così bene : prova a determinare la derivata di
$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2\sin(1/x)&x\neq0\\0&x=0\end{array}\right. $
ne avrai una espressione in formule per x diverso da zero ... quanto vale la derivata in zero?
$ \lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}x=x_0=f(x_0) $
quindi f è continua.
Ora, somma di funzioni continue su un aperto U è continua su U; prodotto di funzioni continue su U è continuo su U, quindi tutti i polinomi sono funzioni continue.
Se poi $ f,g:U\to\mathbb{R} $ sono continue e $ g(x)\neq0 $ su U, allora f/g è una funzione continua su U. Quindi un rapporto di polinomi è continuo fuori dall'insieme di zeri del denominatore.
Infine, se f,g sono continue e $ \textrm{Img}(f)\subseteq\textrm{Dom}(g) $, allora $ g\circ f (x)=g(f(x)) $ è continua. Quindi, assumendo per buono che l'esponenziale sia continuo, $ h(x)=e^{f(x)} $ è una funzione continua.
(Tutto ciò vale pure per le funzioni derivabili)
Il fatto è che non c'è una caratterizzazione globale (cioè che non riguarda i limiti) delle funzioni continue ... o meglio, ce n'è, ma non di utili per determinare comodamente quando una funzione è continua o meno.
In generale, visto che le funzioni che ti troverai di fronte di solito sono descritte da formule più o meno complicate contenenti le 4 operazioni e un po' di funzioni "note" (sin cos exp tan log etc etc), la cosa migliore è tentare di scrivere esplicitamente la derivata e determinarne il massimo dominio possibile (il massimo sottoinsieme di R su cui essa è definita); poi facendo i limiti agli estremi di questo dominio potrai verificare se tale derivata esiste o meno in quei punti (negli altri, ovviamente, non c'è problema, perchè hai una formula per la tua derivata).
Comunque, attenzione, non funziona tutto sempre così bene : prova a determinare la derivata di
$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2\sin(1/x)&x\neq0\\0&x=0\end{array}\right. $
ne avrai una espressione in formule per x diverso da zero ... quanto vale la derivata in zero?
