EULERO

[sqrt2]

Sia P un poliedro tale che presi due punti interni ad esso, esiste una linea continua e interna che li collega e tale che ogni linea chiusa interna al poliedro può essere trasformata in modo continuo in un punto interno senza uscire dal poliedro durante la trasformazione.
Siano F il numero delle facce, S il numero degli spigoli e V il numero dei vertici di P.
a) Dimostrare che per P vale la Formula di Eulero F - S + V = 2.
Sfruttando tale formula
b) Provare che P ha qualche faccia con meno di 6 lati.
c) Detto k il numero delle facce con meno di 6 lati, determinare il minimo
valore possibile per k.
d) Dimostrare che i poliedri regolari sono solo 5.

[pic88]

metto in bianco la parte a)

Se togliamo una faccia al poliedro, resta da dimostrare :
$ p:=F-S+V=1 $
Dopo aver tolto una faccia, possiamo schiacciare il poliedro su una superficie piana, ottenendo un reticolato (come in figura per un cubo).

Questo "schiacciamento" altera le aree delle facce, ma non cambia i valori $ F, S $ e $ V $quindi nemmeno $ p $.
Ora dividiamo ogni faccia non triangolare tracciando una diagonale: questa operazione aumenta di 1 sia $ S $ che $ F $, pertanto lascia invariato $ p $. Facendo un bel po' di queste operazioni, arriviamo a dividere il reticolato in triangoli.
consideriamo i triangoli "esterni", cioè quelli con almeno uno spigolo sul perimetro del reticolato. Alcuni di essi hanno un solo spigolo sul perimetro: se lo togliamo, diminuiamo di 1 sia $ F $ che $ S $. Altri avranno sul bordo 2 spigoli: togliendoli, diminuiamo $ S $di 2, $ F $ di 1 e $ V $ di 1 (perchè sparisce il vertice comune ai due spigoli tolti). Quindi, togliere spigoli dal perimetro è un'operazione che lascia $ p $ invariato. Ripetendo tale operazione, arriviamo finalmente ad avere un triangolo: per un triangolo si ha
$ F=1 $
$ S=V=3 $
$ p=F-S+V=1 $

per cui la formula è valida per ogni reticolato; per ogni poliedro varrà $ p=2 $;

[fph]

Giusto per fare l'avvocato del diavolo...
Prendi un quadrato 3x3; rimuovi il quadratino centrale, così:

Codice: Seleziona tutto

[][][]
[]  []
[][][]

innalza un prisma che ha per base il "quadrato bucato" che hai appena costruito. Quanto vale F-S+V per questo prisma?

[pic88]

Giusto per fare l'avvocato del diavolo...
Prendi un quadrato 3x3; rimuovi il quadratino centrale, così:

Codice: Seleziona tutto

[][][]
[]  []
[][][]

innalza un prisma che ha per base il "quadrato bucato" che hai appena costruito. Quanto vale F-S+V per questo prisma?

credo che il quesito sia rivolto a sqrt2, anche se io stesso però ho dimenticato di precisare che il ragionamento vale per poliedri semplici in cui vale la seguente:

EDIT: presi due punti interni al poliedro, esiste una linea continua e interna che li collega; inoltre ogni linea chiusa interna al poliedro può essere trasformata in modo continuo in un punto interno senza uscire dal poliedro durante la trasformazione.

grazie edriv

[edriv]

Ma questo vuol dire poliedri concavi... mentre il teorema non è così limitato.
Potresti dire che un poliedro è semplice se, comunque presi due punti interni esiste una linea continua, sembre interna, che li collega e ogni linea, continua e interna, che parte da un punto e torna allo stesso punto può essere trasformata (in maniera continua) in un punto...

[pic88]

parte b)

supponiamo che ogni faccia abbia mediamente n spigoli.
Allora, siccome ogni spigolo appartiene a due facce si ha:
$ nF=2S $
mediamente, da ogni vertice escono r spigoli. analogamente:
$ rV=2S $
$ F-S+V=2 $ diventa, dividendo per $ 2S $
$ \displaystyle\ \frac1{n}+\frac1{r}=\frac1{s}+\frac1{2} $
se nessuna faccia ha meno di sei lati, allora:
$ n\geqslant6 $
$ \displaystyle \frac1{n}+\frac1{r}\leqslant \frac{1}{6}+\frac{1}{r} $
allora essendo $ r\geqslant3 $ otteniamo
$ \displaystyle \frac1{S}+\frac{1}3\leqslant\frac{1}{r}\leqslant \frac1{3} $ impossibile

[EvaristeG]

Per fare il pignolo, edriv, al più quelli sono convessi.