Un problemino facile, penso, ma tutto sommato carino, direttamente dall'Halliday:
Un giardiniere vuole fare un mucchio di sabbia conico su un'area circolare di raggio $ $R$ $ nel cortile. La sabbia non deve uscire dal cerchio di base. Se $ $\mu_{\mathrm{s}}$ $ è il coefficiente di attrito statico fra ogni strato di sabbia sul fianco del cono e la sabbia sottostante (sulla quale potrebbe scorrere), dimostrate che il massimo volume di sabbia accumulabile in questo modo vale $ $\frac{\pi\mu_{\mathrm{s}}R^3}{3}$ $. (Il volume di un cono è $ $\frac{Ah}{3}$ $, con $ $A$ $ area di base e $ $h$ $ altezza del cono.)
Sabbia, coni e attrito
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pic88
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- Località: La terra, il cui produr di rose, le dié piacevol nome in greche voci...
Scomponiamo il peso di ciascun granello lungo la componente paralela al fianco del cono e quella perpendicolare.
la componente parallela è $ \displaystyle F_1= PESO* sin \alpha $ dove $ \alpha $ è l'angolo che il fianco del cono forma col terreno.
La condizione d'equilibrio è che questa componente sia minore o uguale alla forza d'attrito massima che è $ \displaystyle F_a= PESO* cos \alpha \mu_s $
Condizione d'equilibrio: $ \tan(\alpha)\leqslant \mu_s $
Il volume è $ \displaystyle \frac{\pi R^2*R\tan(\alpha)}3 $
da cui la tesi.
la componente parallela è $ \displaystyle F_1= PESO* sin \alpha $ dove $ \alpha $ è l'angolo che il fianco del cono forma col terreno.
La condizione d'equilibrio è che questa componente sia minore o uguale alla forza d'attrito massima che è $ \displaystyle F_a= PESO* cos \alpha \mu_s $
Condizione d'equilibrio: $ \tan(\alpha)\leqslant \mu_s $
Il volume è $ \displaystyle \frac{\pi R^2*R\tan(\alpha)}3 $
da cui la tesi.