Dal "Red Book of Mathematical Problems", n. 30
Dal "Red Book of Mathematical Problems", n. 30
Dimostrare che, dato n intero non negativo, è sempre possibile trovare almeno una circonferenza nel piano cartesiano al cui interno siano contenuti esattamente n punti a coordinate intere.
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Lemma: E' impossibile ricoprire il piano con l'unione di una quantità numerabile di rette.
Dimostrazione: Si scelga una retta r del piano non parallela ad alcuna delle rette date (esiste perché le direzioni fra cui scegliere sono più che numerabili). Le intersezioni delle rette date con r sono una quantità al più numerabile di punti, mentre i punti di r sono più che numerabili, ergo necessariamente ne resta qualcuno scoperto.
Ora, sappiamo che i punti a coordinate intere del piano sono numerabili, e così pure le loro coppie ordinate. Per ogni coppia di punti (A,B) a coordinate intere, consideriamo l'asse del segmento AB. Otteniamo una quantità al più numerabile di rette, e per il Lemma esiste almeno un punto P del piano che non appartiene ad alcuna di esse (per la precisione esistono una quantità più che numerabile di siffatti punti P). Per com'è stato costruito P, non esistono 2 punti a coordinate intere equidistanti da P, ed inoltre P non può essere un punto a coordinate intere. Quindi, costruendo tutte le circonferenze centrate in P, a partire da quella di raggio 0, e facendo crescere con continuità il raggio, succede che i punti del piano entrano uno alla volta. Per ogni n consideriamo la circonferenza che ha esattamente n punti, ed ecco fatto.
Scegliendo per esempio $ P=(\sqrt2,\sqrt3) $ come centro, si ottiene un insieme di circonferenze accettabile (dimostrazione banale..).
Dimostrazione: Si scelga una retta r del piano non parallela ad alcuna delle rette date (esiste perché le direzioni fra cui scegliere sono più che numerabili). Le intersezioni delle rette date con r sono una quantità al più numerabile di punti, mentre i punti di r sono più che numerabili, ergo necessariamente ne resta qualcuno scoperto.
Ora, sappiamo che i punti a coordinate intere del piano sono numerabili, e così pure le loro coppie ordinate. Per ogni coppia di punti (A,B) a coordinate intere, consideriamo l'asse del segmento AB. Otteniamo una quantità al più numerabile di rette, e per il Lemma esiste almeno un punto P del piano che non appartiene ad alcuna di esse (per la precisione esistono una quantità più che numerabile di siffatti punti P). Per com'è stato costruito P, non esistono 2 punti a coordinate intere equidistanti da P, ed inoltre P non può essere un punto a coordinate intere. Quindi, costruendo tutte le circonferenze centrate in P, a partire da quella di raggio 0, e facendo crescere con continuità il raggio, succede che i punti del piano entrano uno alla volta. Per ogni n consideriamo la circonferenza che ha esattamente n punti, ed ecco fatto.
Scegliendo per esempio $ P=(\sqrt2,\sqrt3) $ come centro, si ottiene un insieme di circonferenze accettabile (dimostrazione banale..).