Funzioncina-ina-ina

[enomis_costa88]

Determinare tutte le funzioni $ f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R $ tali che
$ f(x-f(y))=1-x-y $
per ogni coppia di numeri reali $ x $ e $ y $.

Buon lavoro, Simone.

[HiTLeuLeR]

Fissato y \in R, siano z_1, z_2 \in R tali che f(z_1) = f(z_2). Poiché la funzione R -> R: x -> x - f(y) è una biezione, esistono x_1, x_2 \in R per cui 1 - x_1 - y = f(x_1 - f(y)) = f(x_2 - f(y)) = 1 - x_2 - y. Pertanto f è iniettiva. Senonché f(x - f(y)) = 1 - x - y = f(y - f(x)), per ogni x, y \in R, e dunque x - f(y) = y - f(x). Da qui f(x) = f(0) - x, per ogni x \in R, e subito f(0) = 1/2.

[Arsen]

Salve, mi pare questa funzione "funzioni":

f(t)=-t+1/2;

lo si può vedere considerando una g(x,y)=f(x-f(y)), derivando parzialmente,
e scoprendo che f'(y)=-1. Si trova che 1/2 è la costante giusta affinchè tutto torni.
Però forse ce ne sono delle altre, non so, io ho trovato solo questa.

Saluti a tutt* e buona estate!

Arsen

[enomis_costa88]

derivando parzialmente

Nelle ipotesi non c'era scritto che f fosse derivabile...
Comunque l'unica soluzione è effettivamente quella che hai trovato.

La soluzione di Hit mi pare giustissima (anche se concludere f(0)=1/2 non mi pare così immediato come dici).

Io l'avevo risolta diversamente:

Sia y=0 ottengo:
(i) $ f(x-f(0))=1-x $

Sia $ x_1=x-f(0) $ la (i) diventa:
(ii) $ f(x_1)=1-x_1-f(0) $
La (ii) è valida per tutti gli $ x_1 $ che si possano scrivere come $ x_1=x-f(0) $ per qualche x reale.
Ma banalmente tutti i reali si possono scrivere come $ x-f(0) $ (per qualche x reale) quindi la (ii) vale su tutto R.

Impongo x=y nell'equazione iniziale ottenendo:
(iii) $ f(x-f(x))=1-2x $

Per la (ii) $ f(x-f(x))=f(x-1+x+f(0))=f(2x-1+f(0)) $
Per la (ii) $ f(2x-1+f(0))=1-(2x-1+f(0))-f(0)=2-2x-2f(0) $
Ottengo quindi:
(iiii) $ 2-2x-2f(0)=f(x-f(x)) $

Per la (iii) e (iiii): $ 2-2x-2f(0)=f(x-f(x))=1-2x $
ovvero 2f(0)=1 e $ f(0)=\frac{1}{2} $

Sostituisco nella (ii) ottenendo$ f(x)=\frac{1}{2}-x $ che verifico facilmente risolvere la funzionale data.

PS so per certo che esiste almeno un'altra soluzione diversa sia dalla mia che da quella di Hit.
Se volete divertirvi ancora con questa povera funzioncina, buon lavoro

[HiTLeuLeR]

La soluzione di Hit mi pare giustissima (anche se concludere f(0)=1/2 non mi pare così immediato come dici).

Si diceva f(x) = f(0) - x, per ogni $ x \in \mathbb{R} $. Perciò f(0) - x + f(y) = f(x - f(y)) = 1 - x - y, per ogni $ x, y \in \mathbb{R} $. Ponendo x = y = 0, ne risulta 2f(0) = 1. Adesso dimmi un po' tu se...

[mattilgale]

basta una sostituzione

se poniamo x=f(y) abbiamo

$ f(0)=1-f(y)-y\ \Rightarrow\ f(y)+y=k $

dove k è una costante

basta ora sotituire nel testo per vedere che l'unica costante che va bene è 1/2[/code]