Tre lattine

[Bolzo88]

Propongo un problema che mi hanno proposto oggi e che non sono ancora riuscito a risolvere.

Tre contenitori di forma cilindrica e di massa m sono disposti nel seguente modo: due sono appoggiati a terra, adiacenti uno all'altro, e il terzo e' appoggiato sopra di essi. Ipotizzando che non ci siano attriti, trovare la velocita' orizzontale dei due contenitori appoggiati a terra quando anche il terzo tocca terra.

[marcox^^]

Provo.
Suppongo innanzi tutto che i tre cilindri abbiano lo stesso raggio r e la stessa altezza. Per ragioni di simmetria il cilindro sospeso, una volta caduto a terra, non può avere velocità; dunque, per la conservazione dell'energia meccanica (il lavoro delle forze non conservative è nullo):

$ mg(r(\sqrt{3}+1)-r) = 2(\frac{1}{2}mv^2) $
$ v = \sqrt{gr\sqrt{3}} $

Dove v è il modulo della velocità cercata.
Attendo correzioni!

[Leblanc]

Per ragioni di simmetria il cilindro sospeso, una volta caduto a terra, non può avere velocità

Il mio primo post in fisica e una delle prime volte che leggo... giusto perche' c'e' bolzo di fianco a me!
Cmq la tua affermazione non mi sembra corretta, perche' il cilindro sospeso arriva si' a terra con una certa velocita'... e' vero che questa energia viene dispersa nell'urto, ma non puoi applicare di conseguenza la legge di conservazione dell'energia.

[MindFlyer]

Non è proprio lo stesso problema, ma forse può essere d'aiuto.
http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... php?t=1585

[EvaristeG]

Hmm è sempre il buon amaldi, vero?

[MindFlyer]

No, quello di Bolzo non viene dall'Amaldi, altrimenti me lo ricorderei.
(ora, se mi smentiscono mi ritiro in qualche casa di riposo per anziani, ma dovrei ricordarmi giusto)

[tuvok]

Ho provato a risolverlo, ma forse ho preso un grosso granchio, anche perchè il risultato non mi convince molto: sia $ x\, $ la distanza del centro di una delle due lattine di base dal punto medio della congiungente dei centri delle stesse due lattine, e sia $ h\, $ la distanza tra il centro della lattina posta sulle altre due e la solita congiungente dei centri delle lattine di base. Per questioni di simmetria la lattina appoggiata cade verticalmente; suppongo anche che le lattine rimangano tangenti tra di loro in ogni istante del moto. La geometria impone che $ x^2+h^2=4r^2 $ in ogni istante del moto, dove r è il raggio di base delle lattine. Derivando rispetto al tempo si ottiene $ 2x\frac{dx}{dt}+2h\frac{dh}{dt}=0 $. Quando la lattina appoggiata tocca terra è noto che $ h=0 $ e $ x=2r $, da cui si ottiene $ 4r\frac{dx}{dt}=0 $, il che mi porta a dire che la velocità orizzontale finale è nulla... ma a me non convince. Che ne dite?

P.S. Bolzo e LeBlanc, come va laggiù in Canada?

[marcox^^]

Hai ragione Leblanc!
Mi vergogno un pò di quello che ho scritto.
Tuttavia ho la faccia tosta di ritentare.

Chiamo L il lavoro della reazione del cilindro sospeso su uno dei due cilindri a terra.
Considero uno dei due cilindri a terra ed ho:

$ L=\frac{1}{2}mv^2 $

Dove v è la velocità richiesta.

Considero ora il cilindro sospeso:

$ L'+mgr\sqrt{3}=\frac{1}{2}mv'^2 $

Dove v' è la velocità d'impatto al suolo e L' il lavoro delle reazioni degli altri due cilindri.

Si ha:

$ L'=-2L $

Considero infine il sistema tre cilindri:

$ mgr\sqrt{3}=\frac{1}{2}mv'^2+mv^2 $

Ho quindi un sistema di quattro equazioni in quattro incognite e rimane solo da risolverlo.

Attendo nuovamente correzioni!

@tuvok: se un errore nella tua soluzione c'è, potrebbe essere quello di considerare x lineare rispetto al tempo.

[Bacco]

Tuvok, il fatto è che se fosse come dici te allora i centri sarebbero sempre a distanza 2R ; ma questo è decisamente impossibile perchè nell'ultima fase del moto le due lattine in basso dovrebbero essere frenate da quella superiore! Considera quest'altro sistema che sarebbe equivalente al tuo: tre palline tenute insieme da tre sbarrette leggere, libere di ruotare. In questo caso la tua soluzione andrebbe bene, ma le sbarrette possono anche tirare a se le palline... cosa che invece qui non è possibile.

[nnsoxke]

Non è questo l'errore della soluzione di tuvok... il problema è che le lattine sono in grado di esercitare solo forze di contatto repulsive , non attrattive, quindi quella relazione cinematica vale solo fino ad un certo istante , dopo di che le forze non ci sono più

[Bacco]

$ L'=-2L $

Perchè? Può darsi che sia vero, ma andrebbe dimostrato...

[tuvok]

ma questo è decisamente impossibile perchè nell'ultima fase del moto le due lattine in basso dovrebbero essere frenate da quella superiore!

E' la stessa obiezione che mi ero fatto anch'io, ma allora che cos'ho sbagliato nella soluzione che ho proposto? Forse considerare il fatto che le lattine rimangano sempre tangenti? Come si potrebbe fare altrimenti?
@marcox^^
non ho considerato x lineare rispetto a t, ho semplicemente applicato la regola per le derivate di funzioni composte

[nnsoxke]

Io studierei l'andamento che dovrebbero avere le forze che si scambiano le lattine se quella relazione cinematica valesse in qualsiasi istante , forse si vede meglio cos'è che non torna e come risolverlo

[Bacco]

... nell'ultima fase del moto le due lattine in basso dovrebbero essere frenate da quella superiore!

il problema è che le lattine sono in grado di esercitare solo forze di contatto repulsive , non attrattive,

Siamo d'accordo!

[Bacco]

$ L'=-2L $

Perchè? Può darsi che sia vero, ma andrebbe dimostrato...

Sisi è verissimo, chiedo scusa....

Comunque c'è un grave problema nella tua soluzione, marcox^^:

sommando due delle tue equazioni se ne ottiene un'altra! Così non vale purtroppo...
Hai scritto:
1- conservazione dell'en. x quella in alto
2- idem per quella in basso
3 = 1+2 = cons. dell'energia per tutte le lattine