dato uno spazio di misura $ (X,\mathcal{A},\mu) $, descrivere il duale† di $ L^p(X) $...
detto in forma più sintetica, e un pochino più suggestiva, dimostrare che $ \left(L^p\right)^* = L^{p^*} $. ††
† per duale, qui intendo lo spazio dei funzionali lineari continui...
†† $ p^* $ è quel numero reale $ q $ tale che $ \frac1{p}+\frac1{q}=1 $.. inoltre, ho omesso volutamente lo spazio di misura, tanto mi pare che sia abbastanza indifferente...
l'ossessione dei due
Ma se credi che mi metta a fare i dettagli ...
Onestamente, è una gran rottura di palle, quella dimostrazione... l'idea è sciocca, all'inizio : se g sta in L^q, F(g)=int_X fg dm è un funzionale lineare continuo su L^p con norma uguale a quella di L^q. Il problema è mostrare che per ogni F esiste una tale f .. si fa con un'idea furba e tanti conti: si considerano solo funzionali positivi, definendo lambda(A)=F(I_A) per ogni A m-misurabile e mostrando che è una misura assolutamente continua rispetto a $\mu$, per usare poi radon-nykodim, ottenendo una densità (sotto l'ipotesi che lo spazio X abbia misura finita) poi si estende per linearità e convergenza monotona a tutto L^p e si mostra che possiamo scegliere la densità in L^q e non solo in L^1. Il caso in cui X non è a misura finita, ma sigma-finita, si tratta "riscalando" lo spazio opportunamente.
Infine, si estende a funzionali non solo positivi mostrando che ogni funzionale è differenza di funzionali positivi.