cerchio e mediane...

[frengo]

sia $ ABC $ un triangolo e sia $ G $ il suo baricentro.si tracci una circonferenza qualsiasi passante per $ G $ che non fuoriesca dal triangolo.siano $ G_A $ l'intersezione tra questa circonferenza e $ AG $ (o il suo prolungamento) e ugualmente $ G_B $ e $ G_C $.
Si dimostri che la quantità

$ m_a^2S_{BCG_A}+m_b^2S_{CAG_B}+m_c^2S_{ABG_C} $

rimane costante al variare della circonferenza scelta.
(qui come si può immaginare $ m_a $ indica la lunghezza della mediana uscente dal vertice $ A $, e $ S_{XYZ} $ indica la misura della superficie del triangolo $ XYZ $)

ciao ciao

[elianto84]

Carino. Chiamo $ \Gamma $ la circonferenza per $ G $ con raggio $ r $ e centro $ I $. Si ha

$ \displaystyle C G_C = \frac{3\mbox{ pow}_{\Gamma}(C)}{2m_c}=\frac{3}{2}\frac{CI^2-r^2}{m_c} $

Inoltre, detto M il punto medio di AB,

$ \displaystyle\left[ABG_C\right]=\Delta-\frac{1}{2}c\cdot CG_C\,\sin\widehat{BNC} $

ma sicuramente

$ \displaystyle\frac{c}{2}m_c\,\sin\widehat{BNC}=\Delta $

dunque

$ \displaystyle \left[ABG_C\right] = \Delta\left(1-\frac{CG_C}{m_c}\right)=\Delta\left(1-\frac{3}{2}\,\frac{CI^2-r^2}{m_c^2}\right) $

segue

$ \displaystyle m_a^2\left[ABG_C\right]+m_a^2\left[ABG_C\right]+m_a^2\left[ABG_C\right]= $

$ \displaystyle 3\Delta\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{4}-\frac{AI^2+BI^2+CI^2-3r^2}{2}\right) $

e chiaramente la quantità $ AI^2+BI^2+CI^2-3r^2 $ non varia al variare di $ \Gamma $.

[frengo]

e chiaramente la quantità $ AI^2+BI^2+CI^2-3r^2 $ non varia al variare di $ \Gamma $.

beh,questo potresti anche dimostrarlo...
il problema non è troppo difficile,quindi dare per ovvia tutta la seconda parte....vabbè

idee principali usate fin'ora("riscrivo" solo la soluzione, che è praticamente uguale alla mia):

1)per togliere le aree dall'espressione, usiamo

$ \frac{S_{BCG_A}}{S_{BCA}}=\frac{m_a-AG_A}{m_a} $

2)per far venire una potenza,usiamo

$ AG=\frac{2}{3}m_a $ (vabbè questo lo sanno in tanti)

3)$ AG\cdot AG_A=pow_{\Gamma}A=AI^2-r^2 $

quindi allora

$ m_a^2S_{BCG_A}+m_b^2S_{ACG_B}+m_c^2S_{BAG_C}= $
$ =S_{ABC}\left(m_a^2\frac{S_{BCG_A}}{S_{BCA}}+m_b^2\frac{S_{ACG_B}}{S_{BCA}}+ $$ m_c^2\frac{S_{BAG_C}}{S_{BCA}}\right )= $
$ =S_{ABC}[m_a(m_a-AG_A)+m_b(m_b-BG_B)+m_c(m_c-CG_C)]= $
$ =S_{ABC}(m_a^2+m_b^2+m_c^2)-\frac{3}{2}S_{ABC}(pow_{\Gamma}A+pow_{\Gamma}B+pow_{\Gamma}C) $

quindi rimane da dimostrare che $ pow_{\Gamma}A+pow_{\Gamma}B+pow_{\Gamma}C $ rimane costante al variare della circonferenza, che è quello che è stato dato per ovvio da elianto...

ciao ciao

[Simo_the_wolf]

Finisco io con i vettori và...

Dunque, fissiamo il centro in $ I $ e quindi dobbiamo trovare quanto vale:

$ A^2 + B^2 + C^2 - 3R^2 $

dall'identità $ (A+B+C)^2 + (A-B)^2 + (B-C)^2 + (C-A)^2 = 3( A^2+B^2+C^2 $

e sapendo che $ (A-B)^2=c^2 $ e simmetriche e che $ (A+B+C)^2=9G^2 $ otteniamo:

$ A^2+B^2+C^2 - 3R^2 = 3G^2- 3R^2 + \frac{a^2+b^2+c^2}3 $

qunidi, sapendo che $ P^2 - R^2 = pow_{\Gamma} (P) $ abbiamo:

$ pow(A) + pow(B)+ pow(C) = 3 *pow(G) + \frac {a^2+b^2+c^2 } 3 $

ma essendo $ pow(G)=0 $ in quanto $ G \in \Gamma $ abbiamo che l'espressione iniziale è indipendente dalla cfr assegnata.

[elianto84]

Quanto rumore...
Preso un riferimento centrato in G la funzione che associa al punto I(x;y) la quantità $ AI^2+BI^2+CI^2-3 GI^2 $ è polinomiale di secondo grado in x e y senza termini misti; tuttavia i termini quadratici vengono elisi dal fatto che 1+1+1-3=0 e quelli lineari dal fatto che le coordinate del baricentro sono la media aritmetica delle coordinate dei vertici: segue che la funzione è costante.