disuguaglianza JBTST 2006

[pi_greco_quadro]

Siano $ a,b,c>0 $ tali che $ a+b+c=1 $

Si dimostri che $ \displaystyle \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq 3(a^2+b^2+c^2) $

[Quippe]

Scusate sono nuova in questo forum, e non so se potrei già rispondere a questo quesito o se c'è bisogno di qualche altra cosa...ma vorei azzardare a prendere la parola e risolvere questo quesito
Credo che se sia a che b che c debbano sessere maggiori di 0 e la loro somma debba essere uguale a 1, per verificare quella formula bisogna associare ad a b e c il valore 1/3...almeno credo
Ciao Ciao!!

[EvaristeG]

Ciao Quippe, e benvenuto.

Non mi è ben chiaro cosa tu intenda con "quella formula", comunque tieni presente che in questo genere di esercizi la richiesta è : "Dimostrare che COMUNQUE SCELTI a,b,c che soddisfano le condizioni assegnate (nel nostro caso somma 1 e tutti positivi), allora vale per essi la seguente."
In sostanza, non si chiede di trovare a,b,c per cui valga quanto scritto, ma di dimostrare che quanto scritto vale per ogni tre numeri a,b,c reali e positivi la cui somma faccia 1.
Quindi, ad esempio, non solo per a,b,c tutti 1/3, ma anche per a=1/2, b=1/4, c=1/4 e per infinite altre terne che non è il caso di mettersi a scrivere .

[Quippe]

Ah...ecco incomincio bene allora, già mi sono fatta conoscere per una mia figuraccia...cmq grazie Evariste per avermi fatto capire:).
Alla prossima!

[Boll]

Nessuno prova?

Siano $ a,b,c>0 $ tali che $ a+b+c=1 $

Si dimostri che $ \displaystyle \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq 3(a^2+b^2+c^2) $

Per Cauchy-Schwarz

$ $ (a^2b+b^2c+c^2a)\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)\ge (a^2+b^2+c^2)^2 $

Ovvero
$ $\mbox{LHS}\ge\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+c^2a} $

Ci rimane dunque da provare
$ $ \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\ge 3(a^2+b^2+c^2) $

Dividete da entrambe le parti per
$ a^2+b^2+c^2 $ e moltiplicate a sinistra per $ a+b+c $
Quindi la nostra tesi coimplica

$ a^3+b^3+c^3+ab^2+bc^2+ca^2\ge 2(a^2b+b^2c+c^2a) $ che coimplica

$ $ \sum_{cyc}\frac{a^3+ab^2}{2}\ge \sum_{cyc}a^2b $

che son tre AM-GM

[pi_greco_quadro]

e guarda un po chisi rivede sul forum... quale onore!!!

Cmq per la mia soluzione io avevo invece usato $ \displaystyle RHS=1-\sum_{cyclic} (a-b)^2 $ poi ho cercato di eliminare l'$ 1 $ e quindi il $ LHS $ è diventato.... ciao Boll...