There are $ n $ 1's written on a board. At each step we can select two of the numbers on the board and replace them by $ \sqrt[3]{\frac{a^2b^2}{a + b}} $. We keep applying this operation until there is only one number left. Prove that this number is not less than $ \frac{1}{\sqrt[3]{n}} $.
Non so se è originale, comunque è stato proposto da Liubomir Chiriac per una rivista.
@IMOteam: avete conosciuto i moldavi?
Operazioni (difficili?) alla lavagna
Su una lavagna ci sono scritti n uni.
Ad ogni passo, scegliamo due numeri a,b sulla lavagna, li cancelliamo e scriviamo al loro posto:
$ \displaystyle \sqrt[3]{\frac{a^2b^2}{a+b}} $
Andiamo avanti così finchè non resta un solo numero. Dimostrare che questo numero è maggiore uguale di $ \frac 1 {\sqrt[3]n} $ (dove n è sempre il numero di uni presenti all'inizio).
Ad ogni passo, scegliamo due numeri a,b sulla lavagna, li cancelliamo e scriviamo al loro posto:
$ \displaystyle \sqrt[3]{\frac{a^2b^2}{a+b}} $
Andiamo avanti così finchè non resta un solo numero. Dimostrare che questo numero è maggiore uguale di $ \frac 1 {\sqrt[3]n} $ (dove n è sempre il numero di uni presenti all'inizio).
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MindFlyer
No.girino ha scritto:ovvero se ad esempio ho 1000 uni e prendo a=2 e b=2,cancello 4 uni e al loro posto metto 2^(2/3) e così via con a e b arbitrari?
Sostituisci due numeri, non a+b numeri. Inoltre, il testo dà per scontato che a e b abbiano posizioni distinte (altrimenti falsifichi il claim).
Ultima modifica di MindFlyer il 31 ott 2006, 13:20, modificato 1 volta in totale.
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MindFlyer
