Disuguaglianza ceviana

[Piera]

Sia P un punto interno ad un triangolo equilatero ABC. Le rette AP, BP, CP incontrano i lati opposti in A', B', C' rispettivamente.
Dimostrare che $ A'B'*B'C'*C'A' \ge A'B*B'C*C'A $.

[elianto84]

Preso P con coordinate trilineari [x;y;z] e fatti tutti i conti con similitudini e teorema del coseno si arriva alla disuguaglianza

$ \displaystyle\prod_{\mbox{cyc}}z^2(x+y)^2\leq\prod_{\mbox{cyc}}\left(x^2 y^2+y^2 z^2+z^2 x^2 + xyz(x+y-z)\right) $

Ed ora a voi il bunching, Cauchy-Schwartz o i moltiplicatori.

[Piera]

Il problema può essere risolto anche senza utilizzare le coordinate trilineari (che appena conosco!), ma utilizzando opportunamente il teorema di Carnot e il teorema di Ceva...

[enomis_costa88]

Non è elegante ma sta notte non mi è venuto in mente nulla di meglio..

Sia x_1=A'C; x_2=CB' e così via.
Per carnot: $ B'A'^2=x_1^2+x_2^2-x_1x_2 $ e analogamente con gli altri.

La disuguaglianza (elevato al quadrato) diventa:
$ \prod (x_{2i-1}^2+x_{2i}^2-x_{2i-1}x_{2i}) \ge \prod x_{2i}^2 $

ovvero svolti i calcolacci e tenuto conto che per Ceva:
$ \prod x_{2i-1}^2=\prod x_{2i}^2=\prod x_i $
e anche:
$ x_1^2x_3x_4x_5x_6=x_1x_2x_4^2x_6^2 $ (e analoghe..)
ottengo:
$ x_1^2x_3^2x_6^2+x_1^2x_4^2x_5^2+x_1^2x_4^2x_6^2+x_2^2x_3^2x_5^2+x_2^2x_3^2x_6^2+x_2^2x_4^2x_5^2 $$ \ge x_1x_2x_3^2x_6^2+ x_1x_2x_4^2x_5^2+ $ $ x_3x_4x_1^2x_6^2+ x_3x_4x_5^2x_2^2+ x_5x_6x_3^2x_2^2+ x_5x_6x_4^2x_1^2 $

divido ogni termine per:
$ \prod x_{2i-1}^2=\prod x_{2i}^2=\prod x_i $

a questo punto effettuo la sostituzione:
$ a^2=\frac{x_6^2}{x_5^2} $
$ b^2=\frac{x_4^2}{x_3^2} $
$ c^2=\frac{x_2^2}{x_1^2} $

e la disuguaglianza diventa:
$ \sum_{cyc}a^2+\frac{1}{a^2}\ge\sum_{sym}\frac{a}{b} $
con abc=1 (per ceva).

Effettuo quindi la sostituzione $ a=\frac{x}{y} $;$ b=\frac{y}{z} $;$ c=\frac{z}{x} $ e dopo avere pulito i denominatori :
$ \sum_{sym}2x^4y^2-x^3y^3-x^4yz \ge 0 $
risolvo con il bunching.

Buona giornata, Simone.