algebra (anelli di Noether, ideali finitamente generati)

[ing-aspirante-mat]

Ciao a tutti!
Intanto una piccola presentazione! Sono Mark! Ingegnere ed aspirante matematico!
Ho studiato ingengneria a Monaco di Baviera. Adesso sono in Italia per motivi di lavoro e ho ripreso a studiare un po' di matematica nel tempo libero! Ho degli amici che frequentano le lezioni in Germania e mi spediscono qualche esercizio ogni tanto.
Ultimamente ho deciso di studiare un po' algebra e topologia

Appunto, mi hanno mandato un esercizio che non riesco a risolvere:

Non riesco a dimostrare che le seguenti due affermazioni sono equivalenti:
(un anello A è noetheriano) <=> (ogni ideale primo A è finitamente generato)

Ovviamente l'implicazione verso destra è triviale, per definizione un anello noetheriano è un anello cui tutti ideali sono finitamente generati, ma l'implicazione verso sinistra mi crea problemi.
Penso l'idea sia procedere per assurdo e considerare un ideale di A non primo e dire che è non finitamente generato. a questo punto mi sarebbe venuto in mente di considerare un ideale massimale M che lo contiene, però poi non so come procedere.
Spero qualcuno mi riesca a dare un suggerimento
Grazie

[MindFlyer]

Benvenuto. Ricordati che questo forum è dedicato alle Olimpiadi, e gli anelli noetheriani non sono materia olimpica. Continua pure la discussione, ma cerca di limitare gli interventi OT nel forum.

[ing-aspirante-mat]

chiedo scusa
credevo si potesse chiedere di tutto a carattere matematico

[HiTLeuLeR]

Denota in S la famiglia di tutti (e soli) gli ideali di A che non sono finitamente generati e supponi che S sia non vuota: $ (S, \subseteq $) è naturalmente un poset. Ammetti adesso che C sia una qualunque catena (non vuota) in S e metti che sia I l'unione di tutti gli elementi di C. E' facile provare che I è un ideale di A. Per assurdo, I sia finitamente generato e sia $ \{a_i\}_{i=1}^n $ un insieme di suoi generatori. Esiste allora $ J \in C $ tale che $ a_i \in J $, per ogni i = 1, ..., n. Allora $ I \in C $ (esercizio 1). Senonché questo è assurdo, in quanto I è finitamente generato. Ne viene che C è induttivamente ordinato, e di conseguenza ammette un elemento massimale (diciamo M). A questo punto ti basta provare che M è un ideale primo, perciò finitamente generato per ipotesi (esercizio 2), in contrasto col fatto che C è una catena di ideali non finitamente generati.