Estendere una base data ad una base generica

[Philip]

Ho la seguente base:

U=[(0,-1/3,-1/3,1),(1,0,0,0)]

devo estendere la seguente base ad una base B di R^4 e trovare le componenti del vettore (-1,1,1,-1) rispetto a B.

Purtroppo durante i corsi non si è mai presentato un esercizio simile e i miei libri di testo non mi sono d'aiuto. Da solo purtroppo non ci arrivo (la seconda parte la saprei anche fare ma non riesco a sbloccarmi sulla prima...)

Potete darmi una mano?

Grazie mille anticipate

[EvaristeG]

Caro Philip,
innanzitutto benvenuto. Ti consiglio di leggere le regole e le faq del forum che stanno nel comitato di accoglienza; in questo modo ti accorgerai che questo è un forum dedicato alle olimpiadi della matematica e che queste sezioni in cui proporre esercizi sono pensate per l'appunto per esercizi olimpici. In particolare geometria= triangoli cerchi e quant'altro, non spazi vettoriali basi e applicazioni lineari.
Questo tuo post viene quindi senz'altro spostato in matematica non elementare.
Inoltre ti faccio presente che, essendo il target i partecipanti alle olimpiadi, post quali il tuo sono considerati off topic e dunque, anche se li tolleriamo, ti invitiamo a non abusare di questi spazi.
Buona navigazione.

[Nonno Bassotto]

Prova a scegliere altri due vettori a caso, e con tutta probabilità insieme ai due dati formeranno una base (una volta scelti i vettori puoi verificare se formano una base ad esempio calcolando un determinante). Per semplificarti la seconda parte potresti scegliere uno dei due vettori uguale a (-1,1,1,-1).

[SkZ]

ovvero ne scegli uno e poi fai cio' che sembra un prodotto vettoriale in 4 dimensioni dei tre che hai per ottenere il quarto che cosi' e' anche perpendicolare ai primi 3.
quindi dato il consiglio di Nonno Bassotto, hai la tua base belle e pronta.

editato per maggior chiarezza

[Marco]

fai il prodotto vettoriale (in 4 dimensioni) dei tre che hai

Questa è nuova... come sarebbe il prodotto vettoriale in $ \mathbf R ^4 $?

[EvaristeG]

Beh, per esistere, esiste...solo che bisogna mettersi un poco a chiacchierare di algebre esterne, per dir cos'è.

Ricordiamo inoltre il metodo "a macchinetta" per completare dei vettori ad una base:
se hai $ v_1,\ldots,v_k $ vettori indipendenti di $ \mathbb{R}^n $, allora considera la matrice
$ \left(v_1\ \ldots\ v_k\ e_1\ \ldots \ e_n\right) $
con $ e_1,\ldots,e_n $ la base canonica; se ora riduci in forma a scalini (metodo di Gauss) questa matrice, le colonne in corrispondenza delle quali inizia una riga individuano tra gli n+k vettori $ v_1,\ldots,v_k,e_1,\ldots,e_n $ una base di R^n.

Nel tuo caso, formi la matrice
$ \left(\begin{array}{cccccc}0&1&1&0&0&0\\-1/3&0&0&1&0&0\\-1/3&0&0&0&1&0\\1&0&0&0&0&1\end{array}\right) $
che dopo Gauss diventa
$ \left(\begin{array}{cccccc}-1/3&0&0&1&0&0\\0&1&1&0&0&0\\0&0&0&-1&1&0\\0&0&0&0&-3&1\end{array}\right) $
poichè la prima riga inizia sulla prima colonna, la seconda sulla seconda, la terza sulla quarta e la quarta sulla quinta, prendendo 1°,2°,4°,5° colonna della matrice di partenza, ottieni una base di R^4.

[SkZ]

prodotto vettoriale in 4 dimensioni dei tre

forse cio' che ho in testa a riguardo e' una mezza eresia.
Sono partito dal fatto che il prodotto vettoriale tra vettori ha come risultato un vettore perpendicolare a tutti i fattori, dal modo di calcolarlo in $ ~\mathbb{R} $
(ovvero il metodo del determinante o come si chiama, ho una pessima memoria per i nomi ), dal fatto che due vettori non nulli sono perpendicolari se il loro prodotto scalare e' nullo e dal modo di calcolare il prodotto scalare.
Se si applica il metodo del detrminante a un gruppo di n-1 vettori di n dimensioni ottieni un vettore a n dimensioni non linearmente dipendente dagli altri e perpendicolare agli altri.
Cio' l'ho chiamato prodotto vettoriale in n dimensioni. Spero che abbia delle fondamenta logiche.

[Marco]

Sì, quello che hai intuito ha fondamenta (che sono per l'appunto le algebre esterne, che sono la generalizzazione "naturale" del prodotto vettoriale in $ \mathbf R^3 $, come giustamente E.G. ci ha ricordato). Il fatto è che, normalmente, non si parla di prodotto vettoriale in dimensioni maggiori di tre.

Giusto per chiarire un potenziale equivoco, non è possibile definire sensatamente un prodotto vettoriale del tipo
$ \mathbf v \times \mathbf w = \mathbf z $
in $ \mathbf R^4 $ a valori nei vettori di $ \mathbf R^4 $. [Sebbene, in maniera un po' paradossale, se invece di coppie di vettori pigli terne di vettori, effettivamente qualcosa si può fare....]