[Teoria dei gruppi] Un'implicazione di commutatività

[Ani-sama]

Sia $ $G$ $ un gruppo. Dimostrare che, se $ $\forall a,b \in G$ $ vale che:

$ $(ab)^i=a^i b^i$ $ per tre interi $ $i$ $ consecutivi,

allora $ $G$ $ è abeliano.

[hydro]

siano $ i,i+1,i+2 $ i tre interi consecutivi. Per ipotesi

$ (ab)^i=a^ib^i $ (1)
$ (ab)^{i+1}=a^{i+1}b^{i+1}=a^iab^ib $ (2)
$ (ab)^{i+2}=a^{i+2}b^{i+2}=a^ia^2b^ib^2 $ (3)

Per definizione,
$ (ab)^{i+1}=(ab)^i(ab)=(a^ib^i)(ab) $, (per la (1)) e uguagliando alla (2) si ha

$ (a^ib^i)(ab)=a^iab^ib $, da cui
$ a^ib=ab^i $ (4), poichè in un gruppo valgono le leggi di cancellazione. Di nuovo per definizione,

$ (ab)^{i+2}=(ab)^i(ab)^2=a^ib^i(ab)(ab) $, grazie alla (1) di nuovo, uguagliando alla (3)
$ a^ib^i(ab)(ab)=a^ia^2b^ib^2 $ da cui, semplificando,

$ b^i(ab)a=a^2b^ib $ e associando
$ (b^ia)(ba)=a(ab^i)b $, in cui possiamo sostituire dalla (4) ottenendo
$ (b^ia)(ba)=a(b^ia)b $, associamo di nuovo
$ (b^ia)(ba)=(ab^i)(ab) $ da cui $ ab=ba $.

Ovviamente vale il se e solo se...