Una disuguaglianza un po' inusuale...

[Ani-sama]

Siano $ $a,b,c$ $ i soliti reali positivi, stavolta tali che $ $abc=1$ $. Dimostrare che:

$ $a^{b+c}\cdot b^{c+a} \cdot c^{a+b} \leq 1$ $

[pic88]

Chebyshev coi logaritmi: LHS<=(abc)^(2AM(a,b,c))=1

[Ani-sama]

Comunque, per rilanciare... penso di aver individuato un metodo dimostrativo che non fa uso di alcuna disuguaglianza nota... provate a trovarlo

[girino]

ci provo,non sono tanto sicuro..
Moltiplicando a dx e a sx per $ a^a*b^b*c^c $ la disugualianza diventa

$ a^a*b^b*c^c\ge1 $

ho provato a fare la derivata seconda della funzione $ f(x)=x^x $

[girino]

ed è sempre positiva;quindi è convessa.Possimo scrivere

$ f(x) $>=$ x $
quindi
$ a^a*b^b*c^c\ge\(abc=1 $

[Poliwhirl]

Riprendo l'idea di girino, cercando di aggirare l'uso delle derivate...
$ \displaystyle a^a * b^b * c^c \geq 1 $ con $ \displaystyle abc = 1 $.
Senza perdita di generalità supponiamo $ \displaystyle a\geq b\geq c $; inoltre da $ \displaystyle abc = 1 $ segue che almeno uno tra $ \displaystyle a,b,c $ è maggiore o uguale a $ 1 $ (se fossero tutti e tre minori di $ 1 $ il loro prodotto sarebbe minore di $ 1 $), e almeno uno tra $ \displaystyle a,b,c $ è minore o uguale a $ 1 $ (se fossero tutti e tre maggiori di $ 1 $ il loro prodotto sarebbe maggiore di $ 1 $); quindi per le considerazioni fatte abbiamo $ \displaystyle a\geq 1 $ e $ \displaystyle c\leq 1 $. Svolgiamo qualche passaggio algebrico:
$ \displaystyle a^a * b^b * c^c \geq 1 $
$ \displaystyle a^{a-c} * b^{b-c} \geq 1 $
$ \displaystyle a^{a-c} * \left(\frac{1}{ac}\right)^{b-c} \geq 1 $
$ \displaystyle \frac{a^{a-b}}{c^{b-c}}\geq 1 $
$ \displaystyle a^{a-b} \geq 1 $ perchè $ \displaystyle a \geq 1 $ e $ \displaystyle a\geq b $;
$ \displaystyle c^{b-c} \leq 1 $ perchè $ \displaystyle c \leq 1 $ e $ \displaystyle b \geq c $;
Segue che $ \displaystyle \frac{a^{a-b}}{c^{b-c}} \geq 1 $ c.v.d..

Son le due di notte, non bastonatemi se ho sbagliato qualcosa...

Bye,
#Poliwhirl#

[enomis_costa88]

Considero la disuguaglianza equivalente (che è una vecchia usamo):
$ a^ab^bc^c\ge (abc)^{\frac{a+b+c}{3}} $
Wlog $ a \ge b\ge c=1 $ (a meno di moltiplicare per una costante).

$ a\ln a+b\ln b \ge a \ln b+b\ln a $ per il riordino.
$ a\ln a+b\ln b\ge \ln a + \ln b $ (perchè a,b maggiori di 1)
Quindi:
$ 2a\ln a+2b\ln b \ge a \ln b+b\ln a+\ln a + \ln b $
$ \ln(a^ab^b)\ge\ln((ab)^{\frac{a+b+1}{3}} ) $
ovvero:
$ a^ab^b1^1\ge(ab1)^{\frac{a+b+1}{3}} $ da cui la tesi.