Dimostrare che il numero
$ 0.23571113171923293137414347... $
,la cui parte decimale è l'accostamento di tutti e soli i numeri primi scritti in ordine crescente, è irrazionale.
Irrazionalità di 0,P_1P_2P_3P_4....
Se vale usare il teorema di Dirichlet, questa potrebbe essere una soluzione.
Supponiamo che questa espressione decimale abbia un periodo di k cifre.
Allora, consideriamo tutti i primi con più di k cifre modulo 10^k. I loro resti potrebbero essere soltanto k, a seconda di quel è l'ultima cifra all'interno del periodo. Ma potremmo trovare un'altra successione di k cifre, diversa da tutte le "traslazioni" del periodo, che non finisca per 2 o per 5. Allora i primi che assumono questo resto modulo 10^k sono finiti, contraddicendo il teorema di Dirichlet.
Se però c'è una dimostrazione più carina (che non usa sto teoremazzo pesante), avvisaci
Supponiamo che questa espressione decimale abbia un periodo di k cifre.
Allora, consideriamo tutti i primi con più di k cifre modulo 10^k. I loro resti potrebbero essere soltanto k, a seconda di quel è l'ultima cifra all'interno del periodo. Ma potremmo trovare un'altra successione di k cifre, diversa da tutte le "traslazioni" del periodo, che non finisca per 2 o per 5. Allora i primi che assumono questo resto modulo 10^k sono finiti, contraddicendo il teorema di Dirichlet.
Se però c'è una dimostrazione più carina (che non usa sto teoremazzo pesante), avvisaci
) 2 primi di k cifre, dovrebbero essere uguali...