disequazione facile facile
- pi_greco_quadro
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disequazione facile facile
Sconsigliato ai piu' esperti ma per favore lasciate a tutti il tempo di provare per piacere
sia $ a_1,a_2,\cdots,a_n $ la successione definita come
$ a_1=2 $
$ \displaystyle a_{n+1}=\frac{2a_n+3}{a_n+2} $
Si dimostri che vale $ a_n-\sqrt{3}>0\qquad\forall n\in\mathbb N $
sia $ a_1,a_2,\cdots,a_n $ la successione definita come
$ a_1=2 $
$ \displaystyle a_{n+1}=\frac{2a_n+3}{a_n+2} $
Si dimostri che vale $ a_n-\sqrt{3}>0\qquad\forall n\in\mathbb N $
Non sono certamente un esperto, quindi ci provo.
Ovviamente, tutti gli elementi di questa successione
sono numeri razionali positivi.
Per nessun termine $ a_n $ possiamo avere $ a_n^2=3 $
dal momento che 3 non è il quadrato di un numero
razionale.
Supponiamo, allora, che $ a_n^2 = \left(\frac{2a_{n-1}+3}{a_{n-1}+2}\right)^2<3 $.
Da ciò deriva, sviluppando il quadrato e con pochi
altri passaggi, che $ a_{n-1}^2 <3 $.
Ripetendo lo stesso ragionamento, si passa via via
da un termine a quello precedente, fino ad arrivare
alla disuguaglianza $ a_1^2<3 $, la quale però non è
verificata, essendo $ a_1=2 $.
Rimane confermata, dunque, la limitazione indicata.
Ovviamente, tutti gli elementi di questa successione
sono numeri razionali positivi.
Per nessun termine $ a_n $ possiamo avere $ a_n^2=3 $
dal momento che 3 non è il quadrato di un numero
razionale.
Supponiamo, allora, che $ a_n^2 = \left(\frac{2a_{n-1}+3}{a_{n-1}+2}\right)^2<3 $.
Da ciò deriva, sviluppando il quadrato e con pochi
altri passaggi, che $ a_{n-1}^2 <3 $.
Ripetendo lo stesso ragionamento, si passa via via
da un termine a quello precedente, fino ad arrivare
alla disuguaglianza $ a_1^2<3 $, la quale però non è
verificata, essendo $ a_1=2 $.
Rimane confermata, dunque, la limitazione indicata.
Bruno
io l'ho pensata cosi'
posto $ ~ a_n>k $ ottengo che $ ~ a_{n+1} > f(k) $. Ho posto $ ~ k=f(k) $ ed e' venuto fuori $ ~ k=\sqrt{3} $
posto $ ~ a_n>k $ ottengo che $ ~ a_{n+1} > f(k) $. Ho posto $ ~ k=f(k) $ ed e' venuto fuori $ ~ k=\sqrt{3} $
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]
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- pi_greco_quadro
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@ STW... avevo richiesto questo problema per i non esperti.... ma va che scherzo... complimenti per la soluzione piuttosto
@Br1... Giusto giusto una cosetta... l'induzione che hai scelto e' corretta ma certamente la piu' complicata.... guarda questa......
$ a_n^2>3 $ segue da $ a_1=2 $
$ \displaystyle a_{n+1}^2=\frac{4a_n^2+12a_n+9}{(a_n+2)^2}>\frac{3(a_n+2)^2}{(a_n+2)^2}=3 $
Da cui segue la tesi

@Br1... Giusto giusto una cosetta... l'induzione che hai scelto e' corretta ma certamente la piu' complicata.... guarda questa......
$ a_n^2>3 $ segue da $ a_1=2 $
$ \displaystyle a_{n+1}^2=\frac{4a_n^2+12a_n+9}{(a_n+2)^2}>\frac{3(a_n+2)^2}{(a_n+2)^2}=3 $
Da cui segue la tesi
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Ottimo, pi_greco_quadro!
In realtà, avevo pensato altre cose più
"svelte" di quella che ho proposto, però
ho voluto lo stesso farmi una "passeggiata"
nel problema di quel tipo.
So che qui siete tutti bravi e spidispidi e mi
piace molto leggere le vostre soluzioni, ma
quando rispondo (quando trovo due minuti
per farlo) lo faccio sapendo che le mie proposte
non reggeranno al confronto...
Però mi diverto lo stesso
Complimenti!
In realtà, avevo pensato altre cose più
"svelte" di quella che ho proposto, però
ho voluto lo stesso farmi una "passeggiata"
nel problema di quel tipo.
So che qui siete tutti bravi e spidispidi e mi
piace molto leggere le vostre soluzioni, ma
quando rispondo (quando trovo due minuti
per farlo) lo faccio sapendo che le mie proposte
non reggeranno al confronto...
Però mi diverto lo stesso

Complimenti!
Bruno
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ovviamente si ani... ma se avessi chiesto dimostrare che il limite della successione e' proprio $ \sqrt{3} $ magari sarebbe potuto sembrare non olimpico.. comunque il problema che ho trovato io era proprio quello... ciao ciao
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