Dimostrare che ogni sottoinsieme di $ ~ \mathbb{R}^n $ privo di punti di accumulazione è numerabile.
Ovvero, se per ogni elemento x di questo insieme esiste un intervallo aperto che
- contenga x
- non contenga altri elementi dell'insieme,
allora esiste una corrispondenza biunivoca tra l'insieme e $ ~ \mathbb{N} $.
Ah, non prendetevela troppo se ho scritto cazzate... non conosco granchè di matematica non elementare.
Sarà un insieme di palline?
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MindFlyer
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pic88
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risolvo quello di edriv
- per n=1.
Sia $ A $ un sottoinsieme di $ \mathbb R $
Parto da 0 considero il primo numero che trovo e lo chiamo $ a_1 $ (se non esiste il primo numero allora 0 è un punto di accumulazione).
E così via.
- per tutti gli n
Sia $ A $ un sottoinsieme di $ \mathbb R^n $
Proietto ogni $ x \in A $ sugli assi. Mi muovo lungo l'asse $ x_1 $ partendo da 0. se non trovo la prima proiezione (perchè magari le componenti $ x_1 $ degli elementi di A sono un insieme denso) allora mi muovo lungo $ x_2 $, e così via. Se lungo nessuno degli assi c'è il primo elemento allora (0,...,0) è punto di accumulazione, assurdo. Quindi riesco sempre a trovare la prima proiezione su uno degli n assi. Il punto di cui è proiezione sarà $ a_1 $
Quello di Mind:
tolgo da A i punti di accumulazione e procedo come prima. L'unione di due numerabili è numerabile
- per n=1.
Sia $ A $ un sottoinsieme di $ \mathbb R $
Parto da 0 considero il primo numero che trovo e lo chiamo $ a_1 $ (se non esiste il primo numero allora 0 è un punto di accumulazione).
E così via.
- per tutti gli n
Sia $ A $ un sottoinsieme di $ \mathbb R^n $
Proietto ogni $ x \in A $ sugli assi. Mi muovo lungo l'asse $ x_1 $ partendo da 0. se non trovo la prima proiezione (perchè magari le componenti $ x_1 $ degli elementi di A sono un insieme denso) allora mi muovo lungo $ x_2 $, e così via. Se lungo nessuno degli assi c'è il primo elemento allora (0,...,0) è punto di accumulazione, assurdo. Quindi riesco sempre a trovare la prima proiezione su uno degli n assi. Il punto di cui è proiezione sarà $ a_1 $
Quello di Mind:
tolgo da A i punti di accumulazione e procedo come prima. L'unione di due numerabili è numerabile
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pic88
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Ah già, è vero...
per n=1 dico che se A è continuo (equipotente ad R) allora A ha almeno un punto di accumulazione.
Considero infatti gli insiemi
$ P_k=[k, k+1] \cap A $
almeno uno di questi ha infiniti elementi. Poi è bolzano-weierstrass.
Analogamente per tutti gli n (bolzano-weierstrass resta valido per n>1)
Quella di Mind segue da questa privando A dei suoi punti di accumulazione e ripetendo il processo di sopra.
per n=1 dico che se A è continuo (equipotente ad R) allora A ha almeno un punto di accumulazione.
Considero infatti gli insiemi
$ P_k=[k, k+1] \cap A $
almeno uno di questi ha infiniti elementi. Poi è bolzano-weierstrass.
Analogamente per tutti gli n (bolzano-weierstrass resta valido per n>1)
Quella di Mind segue da questa privando A dei suoi punti di accumulazione e ripetendo il processo di sopra.
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MindFlyer
Privando A dei suoi punti di accumulazione?pic88 ha scritto:Quella di Mind segue da questa privando A dei suoi punti di accumulazione e ripetendo il processo di sopra.
E come?!?!?
E anche ammettendo questo, come segue la tesi? ("ripetendo il processo di sopra" non è chiaro, e comunque non funziona)
Credo che intenda dire:
sia A l'insieme di punti
sia $ ~ X \subseteq A $ l'insieme dei suoi punti di accumulazione
Quindi:
- A \ X è numerabile perchè privo di punti di accumulazione
- X è numerabile per ipotesi
- A è numerabile perchè unione di insiemi numerabili
Poi però qual è l'errore?
Per n=1 ha dimostrato che se l'insieme è più che numerabile, ha un punto di accumulazione, quindi se non ha punti di accumulazione, è numerabile..
sia A l'insieme di punti
sia $ ~ X \subseteq A $ l'insieme dei suoi punti di accumulazione
Quindi:
- A \ X è numerabile perchè privo di punti di accumulazione
- X è numerabile per ipotesi
- A è numerabile perchè unione di insiemi numerabili
Poi però qual è l'errore?
Per n=1 ha dimostrato che se l'insieme è più che numerabile, ha un punto di accumulazione, quindi se non ha punti di accumulazione, è numerabile..
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MindFlyer
Ma...
Forse non sapete cosa è un punto di accumulazione. Che mi pare estremamente strano, visto che state parlando di teoremi di bolzano-weierstrass etc.
O forse mi sono rincoglionito io, che potrebbe anche darsi.
http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_point
Ne deduco che pic88 ha risolto il problema di edriv riconducendolo al teorema di bolzano-weierstrass, e incidentalmente dicendo una cosa giusta. Ma che col secondo problema si è incartato perché deve sfruttare effettivamente la definizione di punto di accumulazione.
Leggete la pagina che ho linkato, please.
O ancora meglio, parliamo di matematica olimpica in un foruma di matematica olimpica, dai?
Forse non sapete cosa è un punto di accumulazione. Che mi pare estremamente strano, visto che state parlando di teoremi di bolzano-weierstrass etc.
O forse mi sono rincoglionito io, che potrebbe anche darsi.
http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_point
Ne deduco che pic88 ha risolto il problema di edriv riconducendolo al teorema di bolzano-weierstrass, e incidentalmente dicendo una cosa giusta. Ma che col secondo problema si è incartato perché deve sfruttare effettivamente la definizione di punto di accumulazione.
Leggete la pagina che ho linkato, please.
O ancora meglio, parliamo di matematica olimpica in un foruma di matematica olimpica, dai?
