processi a incrementi stazionari e indipendenti

[rargh]

Ciao, un prof di metodi matematici per la finanza, parlando di processi stocastici, ha dato i seguenti enunciati senza dimostrazione:

Sia x(t) un processo stocastico a incrementi stazionari e indipendenti.

se il processo è a incrementi discreti e in tempo continuo, allora l'unico processo che soddisfa queste proprietà è quello dato dalla formula di poisson

$ P(n,t)=\frac{(at)^n e^{-at}}{n!} $

$ a\in\mathbb{R}^+_0 $

se il processo è a incrementi continui e in tempo continui, allora è per forza un moto browniano (cioè dato da una gaussiana)

$ x(t) $\sim N(at,b^2t) $

$ a\in\mathbb{R}^+_0 $
$ b\in\mathbb{R}^+_0 $


Ora in realtà ho trovato dei controesempi...


Partiamo dai processi discreti a tempo continuo.

Abbiamo questa successione di funzioni incognita:

$ P(n,t) $

tali che

[A]

$ P(n,t) \in [0,1] $

$ \forall n \in \mathbb{N} $
$ \forall t \in \mathbb{R}^+ $

e tale che





$ $$\sum_{n} P(n,t) $$=1 $ $ $\forall$ t $

e se imponiamo che abbia media e varianza finita:

[C]

$ $$\sum_{n} nP(n,t) $$=$\mu$(t) $

$ |\mu(t)|<+\infty $ $ $ $ \forall t \in [0,\infty)$ $

[D]

$ $$\sum_{n} (n^2-n)P(n,t) $$=$\sigma$^2(t) $

$ |$\sigma$^2(t)|<+\infty $ $ $ \forall t \in [0,\infty)$ $

la proprietà che il processo è a incrementi stazionari e indipendenti si riassume con questa identità

$ P(n,T+t)=$$\sum_{i} P(n-i,T)P(i,t) $$ $

tenendo presente che:

$ P(i,t)=0 $ $ \forall i<0 $


Possiamo riscrivere questa identità come una convoluzione:

[1a] $ P(n,T+t)=P(n,t)$\ast P(n,T) $

ora qui semplifica molto usare le trasformate, in questo caso, la trasformata zeta:

dato che $ P(n,t) $ è sempre compresa tra 0 e 1, P ha una trasformata almeno per $ \|z\|<1 $

sia $ Q(z,t) $ la trasformata di $ P(n,t) $

$ Q(z,t)=$\sum_{n=0}^{+\infty} P(n,t)z^{-n}$ $

Per le proprietà della trasformata z la trasformata della convoluzione di due successioni è il prodotto delle trasformate

[1b] $ Q(z,T+t)=Q(z,t)Q(z,T) $

sapendo che $ P(n,t) $ è per ipotesi continua in t, anche $ Q(z,t) $ è continua in t.

Dalla [1b] e sapendo che Q è continua in t, deduciamo che:

$ Q(z,t)=[A(z)]^t $

dove $ A(z) $ è la trasformata di $ P(n,1) $

$ A(z)=$$\sum_{n=0}^{+\infty} P(n,1)z^{-n}$$ $

In altre parole possiamo prendere una successione $ P(n,1) $ arbitraria che rispetti [A] e (e opzionalmente anche [C] e [D]) e da questa deduciamo $ P(n,t) $ per qualsiasi t.

Quindi nessuno ci dice che per avere un processo a incrementi discreti, in tempo continuo, tale che gli incrementi siano stazionari e indipendenti, allora dobbiamo avere per forza:

$ P(n,1)=\frac{a^n e^{-a}}{n!} $

In modo simile vedo anche che nessuno ci dice che se gli incrementi sono continui allora il processo segue una distribuzione normale!

[MindFlyer]

Uff che tirata, mi scuso ancora se non so usare il latex...

A questo punto è solo pigrizia. Non è possibile che tu abbia tempo di scrivere tutta quella roba e non abbia tempo di imparare le 3 regole sceme che ti permettono di scriverlo in modo leggibile.

Esempio:
P(n,1)=[a^n*exp(-a)]/n!

diventa $ P(n,1)=\frac{a^n e^{-a}}{n!} $

Codice: Seleziona tutto

[tex]P(n,1)=\frac{a^n e^{-a}}{n!}[/tex]

[rargh]

Ok ho scritto con latex stavolta

[MindFlyer]

Bravo! Visto che era facile?

[rargh]

Grazie... sapresti dirmi se quello che ho detto è corretto?

[Marco]

Mmmhhhh.... metodi matematici per la finanza??.... Proprio non posso esimermi!!

No, Rargh, non basta. La tua è una condizione necessaria, ma menchemai sufficiente.

Ti aiuto a costruire un controesempio.

Non è difficile dimostrare [esercizio!] che quando il tempo è 0, il tuo processo è concentrato in n=0, cioè:
$ P(0,0) = 1; \qquad P(i,0) = 0 $ se $ i \neq 1 $.

Tu dici che sei libero di scegliere qualunque successione per il processo al tempo 1. Ok. Allora prendiamone una facile. Prendiamo quella che al tempo 1 è concentrata in n=1, ossia:
$ P(1,1) = 1; \qquad P(i,1) = 0 $ se $ i \neq 1 $. Questa senz'altro verifica [A-D].

Le cose andrebbero benone se fossimo in tempi discreti. In quel caso è facile [esercizio!] dimostrare per induzione che il tuo processo risulta tutto concentrato in n=t per ogni tempo t intero positivo.

Purtroppo però siamo in tempi continui.

Proviamo a vedere dove può essere il processo al tempo 1/2.

Uso la formula di convoluzione per ricavare $ P( \cdot, 1) $ a partire da $ P( \cdot, 1/2) $.

$ 0 = P(0,1) = P(0,1/2)^2 $, da cui $ P(0,1/2) = 0 $.

$ 1 = P(1,1) = 2 P(0,1/2)P(1,1/2) = 0 $. Assurdo!!

Esercizio: che cosa va male nella tua "dimostrazione" con questo controesempio?

E ora un consiglio per aiutarti a "visualizzare" il fenomeno con un minimo di intuizione.

Un processo a incrementi discreti e a tempi continui, omogeneo nel tempo (stazionario e indipendente) è quello che si usa per modellizzare il decadimento radioattivo degli atomi. Con questa interpretazione, $ P(n,t) $ è la probabilità che al tempo t siano decaduti esattamente $ n $ atomi.

Per finire, ti segnalo che c'è un typo nella formula della varianza. Esercizio: correggere la forumula [D].

[rargh]

ok... mi scuso se non è in latex ma davvero mi costa fatica...

allora. prima di tutto,

[1] P(0,t+T)=P(0,t)P(0,T)

[2] P(0,t) è continua in t

[3] P(0,t) è in [0,1]

segue che P(0,t)=exp(-at)

con a reale positivo.


Ora possiamo dimostrare la formula di Poisson per induzione in n, usando la proprieta' di convoluzione.

Smanettando un po arrivo a questa conclusione:

(vedi topic http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... php?t=6975)

P(n+1,t)=exp(-at)*[(at)^(n+1)]/(n+1)!+exp(-at)*bt

Ora non so come dimostrare che b è 0

Aiutami tu....

[Marco]

Per induzione su k, calcolando la derivata k-esima.

Sai che la serie fatta sommando su n a tempi costanti deve fare 1 (è la condizione di normalizzazione). Quindi la serie delle derivate k-esime deve fare 0.