Teorema delle funzioni implicite

[Sosuke]

Ciao a tutti... ho problemi nel risolvere esercizi in cui dovrei utilizzare il teorema delle funzioni implicite (che dovrebbe essere lo stesso di Dini... no?)... evitando di parlare in senso generalizzato ma andando nello specifico...

Determinare una soluzione $ y = y(x) $ approssimata al secondo ordine del punto $ x=0 $, $ y=1 $ dell'equazione: $ ln(x+y)+\frac{x}{y}=0 $


Allora... andando a quello che ho capito io.... il che è molto confuso.... dovrei verificare innanzitutto che la funzione è di classe $ C_2 $ che vuol dire che la funzione, le derivate prime e le derivate seconde devono essere contiue...

questo penso di potrelo fare studiando il dominio... poi penso che mi devo studiare $ F'_x(x,y) $ e $ F'_y(x,y) $... con la speranza che quanto detto fin qui sia corretto... come continuo????

grazie

[Sosuke]

Nessuno sa almeno un posto dove posso trovare esercizi già risolti???? almeno per capire come devo comportarmi quando mi trovo un problema del genere da svolgere...

grazie ancora..

[rargh]

Io non so nulla di funzioni implicite, solo voci, ma se ti chiede di trovare una funzione y(x) che rispetti quell'identità, direi di:

[1] sostituire y(x) a y nella funzione f(x,y)

[2] derivare f(x,y(x)) rispetto a x, e trovare così un'equazione differenziale che contenga x,y e y'. Sostituisci in questa equazione x=0 e y=1 per trovare y' in x=0

[3] prendere l'equazione differenziale di prima, derivarla ulteriormente e ottenere così un'equazione differenziale dove compaiono x,y,y' e y''. Sostituisci x=0,y=1 e il valore di y' calcolato prima per ottenere y'' in x=0

Ora che conosci y(0)=1, y'(0) e y''(0) fai uno sviluppo di taylor in x=0:

y(x)=1+y'(0)*x+[y''(0)/2]*x^2

[Sosuke]

ti ringrazio sei stato semplice e chiaro... speriamo sia esatto... se qualcuno confermasse...