lo so che il problema è stupido, ma nn riesco a scrivere la successione in funzione di n e quindi non in forma ricorsiva,
abbiamo $ {a_n} $ con $ a_0=1 , a_{n+1}=\sqrt{3+2a_n}) $
dire, sapendo che la successione è crescente e compresa fra 1 e 3,quanto vale
$ $\lim_{x\rightarrow +\infty}{a_n} $
ciao
succesione
1 - la successione è superiormente limitata da 3. Dimostrazione, per induzione:
$ ~ a_0 = 1 < 3 $
$ ~a_n < 3 \Rightarrow 3+2a_n < 9 \Rightarrow a_{n+1} = \sqrt{3+2a_n} < 3 $
2 - la successione è crescente. Dimostrazione: osservo che,per $ 1 \le x <3 $, $ \sqrt{3+2x} < x \Leftrightarrow x^2-2x-3 = (x+1)(x-3) < 0 $
3 - per il teorema sulle successioni monotone, questa successione ha limite.
4 - sia l il limite. Allora questo deve soddisfare $ ~ \sqrt{3+2l}=l $ (*). L'unica soluzione è 3.
(*) Dimostrazione di questo fatto molto utile.
Supponiamo che l sia il limite, ma che $ ~ |l-f(l)| = \alpha \neq 0 $. Poichè $ ~ |f(x)-x| $ è continua, esiste un intorno di l in cui la funzione assume un valore maggiore di $ ~ \frac 12 \alpha $. Consideriamo l'intersezione di questo intorno e dell'intevallo centrato in l di diametro $ ~ \frac 12 \alpha $. In questa intersezione (che è ancora intorno di l) si trovano tutti gli elementi della successione da un certo n in poi. Avremo quindi che:
$ ~ |a_n - a_{n+1}| = |a_n - f(a_n)| > \frac 12 \alpha $ (perchè |x-f(x)| è continua ed a_n è vicino ad l)
$ ~ |a_n - a_{n+1}| < \frac 12 \alpha $ (perchè nell'intervallo di diametro $ ~ \frac 12 \alpha $
Assurdo.
$ ~ a_0 = 1 < 3 $
$ ~a_n < 3 \Rightarrow 3+2a_n < 9 \Rightarrow a_{n+1} = \sqrt{3+2a_n} < 3 $
2 - la successione è crescente. Dimostrazione: osservo che,per $ 1 \le x <3 $, $ \sqrt{3+2x} < x \Leftrightarrow x^2-2x-3 = (x+1)(x-3) < 0 $
3 - per il teorema sulle successioni monotone, questa successione ha limite.
4 - sia l il limite. Allora questo deve soddisfare $ ~ \sqrt{3+2l}=l $ (*). L'unica soluzione è 3.
(*) Dimostrazione di questo fatto molto utile.
Supponiamo che l sia il limite, ma che $ ~ |l-f(l)| = \alpha \neq 0 $. Poichè $ ~ |f(x)-x| $ è continua, esiste un intorno di l in cui la funzione assume un valore maggiore di $ ~ \frac 12 \alpha $. Consideriamo l'intersezione di questo intorno e dell'intevallo centrato in l di diametro $ ~ \frac 12 \alpha $. In questa intersezione (che è ancora intorno di l) si trovano tutti gli elementi della successione da un certo n in poi. Avremo quindi che:
$ ~ |a_n - a_{n+1}| = |a_n - f(a_n)| > \frac 12 \alpha $ (perchè |x-f(x)| è continua ed a_n è vicino ad l)
$ ~ |a_n - a_{n+1}| < \frac 12 \alpha $ (perchè nell'intervallo di diametro $ ~ \frac 12 \alpha $
Assurdo.
Ultima modifica di edriv il 30 nov 2006, 19:19, modificato 1 volta in totale.