a|b+c+bc e cicliche

[pi_greco_quadro]

Siano dati tre interi positivi $ \displaystyle a,b,c $ distinti tali che

$ \displaystyle a\mid b+c+bc $
$ \displaystyle b\mid c+a+ca $
$ \displaystyle c\mid a+b+ab $

Si provi che non possono essere tutti e tre primi allo stesso tempo

Ciao

[HiTLeuLeR]

Wlog, sia $ a < b < c $. Allora $ b $ e $ c $ sono dispari, per cui $ b+c+bc \equiv 1 \bmod 2 $. Di conseguenza, $ 3 \le a < b < c $. Inoltre $ abc $ divide $ ab+bc+ca+2(a+b+c) $, e quindi $ \displaystyle 1 \le \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{2}{ab} + \frac{2}{bc}+\frac{2}{ca} $ $ \displaystyle \le \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{2}{15} + \frac{2}{21} + \frac{2}{35} < 1 $, assurdo.