Massimo e minimo in due variabili

[mark86]

Trovare il massimo e il minimo assoluti della funzione
$ \displaystyle f(x,y)=\log_{\sqrt{37}}(4x^2+y^2+1) $
nel cerchio $ \displaystyle C = \left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:(x-1)^2+y^2\leq 4\right\} $

Dovrebbe essere utile l'argomento di questo thread http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... php?t=5585 ma ovviamente tutto è concesso.

[SkZ]

$ \displaystyle f(x,y)= \log_{\sqrt{37}}(4x^2+y^2+1)= \frac{1}{\ln{\sqrt{37}}} \ln(4x^2+y^2+1) $
il logaritmo e' strettamente crescente, quindi il tutto equivale a cercare i massimi ei minimi assoluti di $ ~g(x,y)=4x^2+y^2+k $ con k costante
posto $ ~\xi=x-1 $, $ ~g(\xi,y)=4\xi^2-8\xi+y^2+k' $ su $ \displaystyle C = \left\{(\xi,y)\in \mathbb{R}^2 : \xi^2+y^2\leq 4\right\} $
ovvero funzione $ ~C^\infty $ convessa definita su compatto. il resto e' noto

[mark86]

il resto e' noto

ehm..... il resto sarebbe come continuare il calcolo???

[SkZ]

il resto se n'e' parlato qui
http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... php?t=7146

ps: si lo so: sono pigro

[mark86]

Quello che volevo dire è che il metodo dei moltiplicatori richiede i vincoli per essere applicato.. ma io qui non ne vedo, c'è solo l'equazione di cui ricercare gli estremi e l'insieme in cui farlo. Per questo chiedevo come continuare. Non ho capito poi perchè fare il cambiamento di variabile.. ad esempio io non l'ho fatto per risolverlo! Non credo che semplifichi i conti.. o forse si?

[SkZ]

Quello che volevo dire è che il metodo dei moltiplicatori richiede i vincoli per essere applicato

il metodo dei moltiplicatori serve per trovare i massimi e minimi di una funzione all'interno di una varieta'. il vincolo e' la varieta'. il cerchio nel tuo caso

Non ho capito poi perchè fare il cambiamento di variabile

dato che ho proposto un metodo "alternativo", in tal caso per studiare la frontiera era comodo il cambio per avere $ ~\xi^2+y^2=4 $