Dato il triangolo $ ABC $, $ D $ e' il piede della perpendicolare da $ A $. Due punti $ E $ ed $ F $ sono tali che appartengono rispettivamente ai circocerchi di $ ABD $ e $ ACD $; inoltre si ha che $ E $, $ D $ ed $ F $ sono allineati. Detti $ M $ e $ N $ rispettivamente i punti medi dei segmenti $ BC $ e $ EF $, dimostrare che $ AN $ e' perpendicolare a $ NM $.
ps: non e' difficile e c'e' una soluzione bella:)
Perpendicolarita' e punti medi
EDIT: sorry, un piccolo errore di copiatura..Allora.. poichè \angle AFD=\angle ACD e \angle AED=\angle ABD i triangoli ABC e AEF sono rotomotetici. Quindi \angle MAN = \angle BAE. Inoltre AN/AM=AE/AB=cos \angle BAE = cos \angle MAN. Quindi ANM è retto
Ultima modifica di Sisifo il 01 mar 2007, 16:13, modificato 1 volta in totale.
"Non è certo che tutto sia incerto"(B. Pascal)
Membro dell'associazione "Matematici per la messa al bando del sudoku" fondata da fph
Membro dell'associazione "Matematici per la messa al bando del sudoku" fondata da fph
Generalizzazione:
Due circonferenze si intersecano in A e B.
Una retta r, passante per A, interseca la prima circonferenza in X e la seconda in Y.
Determinare il luogo dei punti medi di XY al variare di r nel fascio di rette per A.
A sisifo: perchè $ \displaystyle \angle MAN = \angle BAD $? Io direi $ \displaystyle \angle MAN = \angle CAF = \angle BAE $, in particolare $ \displaystyle \angle MAN = \angle CAF = \angle CDF = \angle MDF = \angle MDN $ (usando angoli orientati), quindi ADMN è ciclico da cui la tesi.
Due circonferenze si intersecano in A e B.
Una retta r, passante per A, interseca la prima circonferenza in X e la seconda in Y.
Determinare il luogo dei punti medi di XY al variare di r nel fascio di rette per A.
A sisifo: perchè $ \displaystyle \angle MAN = \angle BAD $? Io direi $ \displaystyle \angle MAN = \angle CAF = \angle BAE $, in particolare $ \displaystyle \angle MAN = \angle CAF = \angle CDF = \angle MDF = \angle MDN $ (usando angoli orientati), quindi ADMN è ciclico da cui la tesi.