raggio di convergenza

[ropa83]

Ragazzi sto impazzendo aiutatemi con questo esercizio per favore.Il testo dice questo:
Determinare il raggio di convergenza r delle seguenti serie di potenze:
1)sommatoria di n che va da 1 a infinito di x elevato n/5 elevato n
2)sommatoria di n che va da 1 a infinito di x elevato n/n elevato n

ragzzi scusate la mancanza di simboli matematici ma per ragioni di praticità ho dovuto scriverli a aprole invece di usare i simboli.Spero capiate cmq.

HELP HELP

[MdF]

Ragazzi sto impazzendo aiutatemi con questo esercizio per favore.Il testo dice questo:
Determinare il raggio di convergenza r delle seguenti serie di potenze:
1)sommatoria di n che va da 1 a infinito di x elevato n/5 elevato n
2)sommatoria di n che va da 1 a infinito di x elevato n/n elevato n

ragzzi scusate la mancanza di simboli matematici ma per ragioni di praticità ho dovuto scriverli a aprole invece di usare i simboli.Spero capiate cmq.

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Innanzitutto $ $ \sum_{i=1}^{+\infty} \frac{x^n}{5^n} $ $ e $ $ \sum_{i=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n^n} $ $. Per calcolare il raggio di convergenza esistono alcune strategie: per esperienza, nei problemi di difficoltà "liceale" è utilissimo e usabilissimo il Criterio del Rapporto per successioni a termini positivi:
$ $ \lim_{n\to+\infty} \frac{\left|\frac{x}{5}\right|^{n+1}}{\left|\frac{x}{5}\right|^n}=\frac{|x|}{5} $ $. Per convergenza (dal Criterio del Rapporto) si vuole questo limite minore di 1:
$ $ \frac{|x|}{5} < 1 \Rightarrow |x|<5 $ $ (che è la definizione di raggio di convergenza, cioè la distanza massima da x dell'intervallo in cui è presente convergenza). Quindi il raggio è proprio 5.
Per l'altro si può procedere più o meno analogamente, usando in alternativa il Criterio della Radice (produce risultati analoghi).

[ropa83]

Grazie grazie grazie...sto preparando analisi2 all'università e a prepararla da sola sto impazzendo.Grazie mille veramente

[MdF]

Immaginavo, il livello sembra universitario. Ti consiglio delle buone dispense e un eserciziario commentato (prova questi, a me piacciono). Buon lavoro!

[ropa83]

Grazie mille...effettivamente sono ben fatti,in giro per il web non ne avevo ancora trovati.

[ropa83]

Svolgendo gli esercizi mi sono venuti però dei dubbi...vi prego finchè non mi dò la materia sopportatemi
Allora nello svolgimento dell'esercizio che mi hai spiegato tu mi dici che per convergenza si vuole il limite <1...ma quale limite?quello della formula del criterio del rapporto?e perchè <1?
Poi ho svolto l'altro esercizio che avevo postato e mi risulta |x/n| e quindi il raggio di convergenza è uguale a +infinito.giusto?

[MdF]

Svolgendo gli esercizi mi sono venuti però dei dubbi...vi prego finchè non mi dò la materia sopportatemi
Allora nello svolgimento dell'esercizio che mi hai spiegato tu mi dici che per convergenza si vuole il limite <1...ma quale limite?quello della formula del criterio del rapporto?e perchè <1?
Poi ho svolto l'altro esercizio che avevo postato e mi risulta |x/n| e quindi il raggio di convergenza è uguale a +infinito.giusto?

La formula del Criterio del rapporto individua la convergenza di una serie a termini positivi qualora il limite sia compreso tra 0 e 1, per definizione. Quando il limite è 1 non si ha informazione, quando è maggiore di 1 la serie diverge.
Per quanto riguarda l'esercizio, mi pare che il raggio sia proprio $ $+\infty$ $, spero di non sbagliarmi.

[ropa83]

Mdf ti chiedo un ultimo aiuto su alcuni esercizi...anche se ho letto in più discussioni che questo non è uin forum per aiutare gli studenti a passare gli esami,ma ti giuro che non sò a chi rivolgermi.Spero mi aiuterai ancora un'ultima volta.
ecco il testo:
Calcolare il raggio di convergenza r delle seguenti serie di potenze:
∞
Σ 5n/2ⁿ xⁿ(cioè tutta la frazione mi moltiplica xⁿ )
n=1
Altro esercizio:
∞
Σ n^7/(n+1)! xⁿ(cioè tutta la frazione mi moltiplica xⁿ )
n=0

e poi ho un ultimissimo dubbio:
Studiare la convergenza delle serie di potenze
∞
Σ 2ⁿ/√n+3 xⁿ(anche qui tutta la frazione moltiplica xⁿ )
n=0

Applicando il teorema di D'Alembert come risultato finale mi viene:2√n+3/√n+4
e fin qui è giusto.Il libro dice che il raggio di convergenza risulta 1/2...come mai?non riesco a capire come.e quindi che per X=1/2 converge.

Grazie mille in anticipo

[MdF]

Mdf ti chiedo un ultimo aiuto su alcuni esercizi...anche se ho letto in più discussioni che questo non è uin forum per aiutare gli studenti a passare gli esami,ma ti giuro che non sò a chi rivolgermi.Spero mi aiuterai ancora un'ultima volta.
ecco il testo:
Calcolare il raggio di convergenza r delle seguenti serie di potenze:
∞
Σ 5n/2ⁿ xⁿ(cioè tutta la frazione mi moltiplica xⁿ )
n=1
Altro esercizio:
∞
Σ n^7/(n+1)! xⁿ(cioè tutta la frazione mi moltiplica xⁿ )
n=0

e poi ho un ultimissimo dubbio:
Studiare la convergenza delle serie di potenze
∞
Σ 2ⁿ/√n+3 xⁿ(anche qui tutta la frazione moltiplica xⁿ )
n=0

Applicando il teorema di D'Alembert come risultato finale mi viene:2√n+3/√n+4
e fin qui è giusto.Il libro dice che il raggio di convergenza risulta 1/2...come mai?non riesco a capire come.e quindi che per X=1/2 converge.

Grazie mille in anticipo

Innanzitutto:
$ $\sum_{n=0}^\infty \frac{5n}{2^n}x^n$ $
$ $\sum_{n=0}^\infty \frac{n^7}{(n+1)!}x^n$ $
$ $\sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{\sqrt{n+3}}x^n$ $

L'ultimo ti viene giustamente $ $ 2^n\frac{\sqrt{n+3}}{\sqrt{n+4}}$ $. Dimentichi però che il criterio del rapporto si applica mandando n a infinito, quindi se sviluppi i conti viene $ $\lim_{n\to+\infty} 2^n\sqrt{\frac{n+3}{n+4}}$ $. La frazione sotto radice tende a 1 e quindi il limite è 2. Come già detto, il raggio è l'inverso di tale limite e quindi è 1/2 come richiesto.
Gli altri due si fanno alla stessa identica maniera di questo, che avevi risolto con successo salvo completare tutti i passaggi richiesti. Se ho 10 minuti faccio i conti precisi e li scrivo qua.

[MdF]

Innanzitutto:
$ $\sum_{n=0}^\infty \frac{5n}{2^n}x^n$ $
$ $\sum_{n=0}^\infty \frac{n^7}{(n+1)!}x^n$ $

Il primo è banale, basta applicare le proprietà e non sbagliare ad incrementare (col criterio del rapporto) a caso:
$ $l=\lim_{n\to+\infty}\frac{5(n+1)}{5n}\cdot\frac{2^n}{2^{n+1}}=$ $
$ $=\lim_{n\to+\infty}\frac{n+1}{n}\cdot\frac{2^n}{2^n\cdot 2}}$ $
la prima frazione tende a 1, nella seconda si semplifica e il risultato è 1/2. Allora il raggio è (al solito) l'inverso di $ $l$ $ cioè 2.

Il secondo va più ponderato ma si risolve uguale:
$ $l=\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)^7}{n^7}\cdot\frac{(n+1)!}{(n+1+1)!}}= $ $
[Il consiglio implicito, che seguo sempre quando risolvo, è: data una frazione come termine generale della serie di potenze, tenere separati numeratore e denominatore, ciascuno col proprio incremento, perché è tra un numeratore e lo stesso numeratore incrementato di 1 che è più possibile avere semplificazioni.]
Ho scritto il fattoriale incrementato per meglio farlo notare e sfruttare la proprietà fondamentale del fattoriale:
$ $(n+1)!(n+1)\cdot n!$ $
Qui si fa analogo, ma col termine successivo:
$ $l=\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^7 \cdot \frac{(n+1)!}{(n+2)(n+1)!}}= $ $
La prima frazione come sempre va a 1. Con le dovute semplificazioni:
$ $l=\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n+2}=0 $ $
cioè il raggio di convergenza è tutto $ $\mathbb{R}$ $.

[ropa83]

Grazie mille...vado a risolverli subito.Ti ringrazio ancora di vero cuore.

[SkZ]

ricordo bene che se i limiti del rapporto e della radice esistono sono uguali?
ovvero
$ $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{c_{n+1}}{c_n}\in\mathbb{R}\land\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{c_n}\in\mathbb{R}$ $ $ $\Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{c_{n+1}}{c_n}= \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{c_n}$ $

[MdF]

ricordo bene che se i limiti del rapporto e della radice esistono sono uguali?
ovvero
$ $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{c_{n+1}}{c_n}\in\mathbb{R}\land\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{c_n}\in\mathbb{R}$ $ $ $\Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{c_{n+1}}{c_n}= \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{c_n}$ $

Vero, trattandosi di casi particolari dell'unico punto di partenza, cioè il Criterio del Confronto.

[ropa83]

Un'ultimissima cosa...ultimo dubbio mentre facevo un esercizio.Come deve essere svolto?ecco il testo:
Determinare l'intervallo di convergenza della serie di potenza:
∞
∑ n(x+3) ⁿ/2 ⁿ
n=1

Grazie mille

[MdF]

Un'ultimissima cosa...ultimo dubbio mentre facevo un esercizio.Come deve essere svolto?ecco il testo:
Determinare l'intervallo di convergenza della serie di potenza:
∞
∑ n(x+3) ⁿ/2 ⁿ
n=1

Grazie mille

$ $\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}(x+3)^n$ $
Esattamente come prima, solo che ora chiamiamo $ $X=x+3$ $, da cui:
$ $\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}X^n$ $
Solito criterio del rapporto, il limite è $ $\frac{1}{2}$ $, il raggio 2. Da definizione:
$ $ -2 < X < 2 $ $ cioè $ $ -2 < x+3 < 2 $ $
siccome cerchi x, risolvi ogni singola disequazione ottenendo:
$ $ -5 < x < -1 $ $.

[In TUTTI gli esercizi precendenti non ho calcolato la convergenza negli estremi dell'intervallo di convergenza. È una cosa DA FARE assolutamente, mia dimenticanza, ma non è difficile, si tratta di casi semplici - e non più di serie di potenze - da studiare.]