Problema (brutto
) proposto se non erro da Sam per la gara a premi parmense, lo posto dato che edriv (li mortacci sui) ha già bruciato l'altro in geom... ah, astenersi boll e gabriel
Tre cerchi parmensi ed una sfera
Tre cerchi parmensi ed una sfera
Siano dati nello spazio tre cerchi a due a due tangenti e non complanari. Si faccia vedere che esiste una sfera che passa per tutti e tre.
Problema (brutto) proposto se non erro da Sam per la gara a premi parmense, lo posto dato che edriv (li mortacci sui) ha già bruciato l'altro in geom...
ah, astenersi boll e gabriel
Problema (brutto
) proposto se non erro da Sam per la gara a premi parmense, lo posto dato che edriv (li mortacci sui) ha già bruciato l'altro in geom... ah, astenersi boll e gabriel
Dai, non è un problema brutto!
Siano $ ~ O_1,O_2,O_3 $ i centri e $ ~T_1,T_2,T_3 $ i punti di tangenza.
Lemma 1: date due circonferenze tangenti , esiste una sfera per queste 2.
Le rette per i centri di ciascun cerchio perpendicolari al piano di ciascun cerchio si incontrano in P (è abbastanza facile vederlo, è una questione di simmetria). La distanza da P a ciascun punto del primo cerchio è uguale alla distanza da P al punto di tangenza quindi è uguale alla distanza da P a ciascun punto del secondo cerchio. Quindi la sfera di centro P e raggio PT (dove T è il punto di tangenza) va bene.
Quindi, prendiamo i cerchi a 2 a 2 e consideriamo le tre sfere così ottenute. Consideriamone 2. La loro intersezione contiene almeno uno dei 3 cerchi. Ma ciascuna sfera passa anche per tutti i punti di tangenza, quindi la loro intersezione passa anche per il punto di tangenza che non appartiene a quel cerchio. Che non è nel piano di quel cerchio.
Quindi le sfere si intersecano in 4 punti non coplanari e coincidono.
Siano $ ~ O_1,O_2,O_3 $ i centri e $ ~T_1,T_2,T_3 $ i punti di tangenza.
Lemma 1: date due circonferenze tangenti , esiste una sfera per queste 2.
Le rette per i centri di ciascun cerchio perpendicolari al piano di ciascun cerchio si incontrano in P (è abbastanza facile vederlo, è una questione di simmetria). La distanza da P a ciascun punto del primo cerchio è uguale alla distanza da P al punto di tangenza quindi è uguale alla distanza da P a ciascun punto del secondo cerchio. Quindi la sfera di centro P e raggio PT (dove T è il punto di tangenza) va bene.
Quindi, prendiamo i cerchi a 2 a 2 e consideriamo le tre sfere così ottenute. Consideriamone 2. La loro intersezione contiene almeno uno dei 3 cerchi. Ma ciascuna sfera passa anche per tutti i punti di tangenza, quindi la loro intersezione passa anche per il punto di tangenza che non appartiene a quel cerchio. Che non è nel piano di quel cerchio.
Quindi le sfere si intersecano in 4 punti non coplanari e coincidono.
Umpf ...
Dato un punto O e un reale positivo r, definiamo l'inverso di P rispetto a (O,r) come il punto P' sulla semiretta OP tale che $ OP\cdot OP'=r^2 $.
Non vi siete mai accorti che questa cosa non deve essere per forza fatta nel piano?
Siano C, C', C'' le tre circonferenze e siano P,Q,R i punti di tangenza.
Invertiamo in una sfera di centro P. Sui piani che contengono C e C' (che supponiamo si tangano in P) l'inversione si riduce alla solita inversione rispetto alle circonferenze data dall'intersezione tra la sfera e tali piani.
Quindi C e C' vanno in due rette r, r', entrambe parallele alla tangente comune di C e C' e C'' va in X, circonferenza tangente a r e r', quindi r, r' e X sono complanari.
Ma l'inverso sferico di un piano non per il centro è una sfera per il centro.
Dato un punto O e un reale positivo r, definiamo l'inverso di P rispetto a (O,r) come il punto P' sulla semiretta OP tale che $ OP\cdot OP'=r^2 $.
Non vi siete mai accorti che questa cosa non deve essere per forza fatta nel piano?
Siano C, C', C'' le tre circonferenze e siano P,Q,R i punti di tangenza.
Invertiamo in una sfera di centro P. Sui piani che contengono C e C' (che supponiamo si tangano in P) l'inversione si riduce alla solita inversione rispetto alle circonferenze data dall'intersezione tra la sfera e tali piani.
Quindi C e C' vanno in due rette r, r', entrambe parallele alla tangente comune di C e C' e C'' va in X, circonferenza tangente a r e r', quindi r, r' e X sono complanari.
Ma l'inverso sferico di un piano non per il centro è una sfera per il centro.
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¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
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