Sui tre lati di un triangolo qualsiasi ABC si costruiscano esternamente al triangolo tre triangoli equilateri. Mostrare che i loro baricentri sono i vertici di un triangolo equilatero.
Grazie
Baricentri
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miles_davis
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- Iscritto il: 24 apr 2007, 17:20
Baricentri
Mi aiutereste con questo problema?
Sui tre lati di un triangolo qualsiasi ABC si costruiscano esternamente al triangolo tre triangoli equilateri. Mostrare che i loro baricentri sono i vertici di un triangolo equilatero.
Grazie
Sui tre lati di un triangolo qualsiasi ABC si costruiscano esternamente al triangolo tre triangoli equilateri. Mostrare che i loro baricentri sono i vertici di un triangolo equilatero.
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MindFlyer
Benvenuto, miles_davis!
Ricordati sempre di dare titoli significativi ai tuoi thread.
Una dimostrazione del teorema è questa:
Sia ABC il triangolo, A' il centro del triangolo equilatero costruito su BC, etc, in modo che B' sia il centro opposto a B e C' sia opposto a C.
AC'BA'CB' è un esagono, e come come tale ha somma degli angoli interni pari a 4*180°. Inoltre, la somma degli angoli interni dell'esagono in A', B' e C' è 360°, poiché onuno di essi misura 120°. Dunque la somma degli angoli in A, B e C è anch'essa 4*180°-360°=360°.
Tagliuzza i 3 triangolini AB'C', BC'A' e CA'B', e disponili in modo da far coincidere i punti A, B, C, i segmenti AC', BC', i segmenti BA', CA', ed i segmenti CB', AB'. Puoi farlo perché la somma degli angoli in A, B, C è 360° e perché i segmenti che mandi a coincidere sono uguali perché uniscono vertici di uno stesso triangolo equilatero con il suo centro.
Il nuovo triangolo formato è congruente all'A'B'C' originale, perché ha gli stessi lati. In particolare, tornando alla figura originale, l'angolo B'A'C' è pari alla somma degli angoli BA'C' e CA'B', e la somma di questi 3 angoli è 120°. Dunque B'A'C'=60°.
Ripeti l'ultimo paragrafo per gli angoli in B' e C' e hai dimostrato che A'B'C' ha tutti gli angoli di 60°, dunque è equilatero.
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Una dimostrazione del teorema è questa:
Sia ABC il triangolo, A' il centro del triangolo equilatero costruito su BC, etc, in modo che B' sia il centro opposto a B e C' sia opposto a C.
AC'BA'CB' è un esagono, e come come tale ha somma degli angoli interni pari a 4*180°. Inoltre, la somma degli angoli interni dell'esagono in A', B' e C' è 360°, poiché onuno di essi misura 120°. Dunque la somma degli angoli in A, B e C è anch'essa 4*180°-360°=360°.
Tagliuzza i 3 triangolini AB'C', BC'A' e CA'B', e disponili in modo da far coincidere i punti A, B, C, i segmenti AC', BC', i segmenti BA', CA', ed i segmenti CB', AB'. Puoi farlo perché la somma degli angoli in A, B, C è 360° e perché i segmenti che mandi a coincidere sono uguali perché uniscono vertici di uno stesso triangolo equilatero con il suo centro.
Il nuovo triangolo formato è congruente all'A'B'C' originale, perché ha gli stessi lati. In particolare, tornando alla figura originale, l'angolo B'A'C' è pari alla somma degli angoli BA'C' e CA'B', e la somma di questi 3 angoli è 120°. Dunque B'A'C'=60°.
Ripeti l'ultimo paragrafo per gli angoli in B' e C' e hai dimostrato che A'B'C' ha tutti gli angoli di 60°, dunque è equilatero.
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¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
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- Iscritto il: 22 ott 2006, 14:36
- Località: Carrara/Pisa
Nel triangolo ABC si costruisce su BC il triangolo equilatero di vertice P e centro $ O_1 $, su AC di vertice Q e centro $ O_2 $ e su AB di vertice R e centro $ O_3 $.
il baricentro divide la mediana in rapporto 2:1 quindi $ AO_2 = \frac{b}{\sqrt{3}} $ e ugualmete $ AO_3 = \frac{c}{\sqrt{3}} $
Per Carnot sul triangolo che unisce i centri $ 3 \cdot O_3O_2^2 = c^2 + b^2 - 2cb \cdot cos(60 + \alpha) = $$ c^2 + b^2 - cb\cdot cos \alpha - \sqrt{3} \cdot cb\cdot sen\alpha $
ma per carnot su ABC $ cb \cdot cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2} $ e inoltre $ cb\cdot sen\alpha = 2(\Delta ABC) $
$ 3\cdot O_3O_2^2 = \frac{a^2+b^2+c^2}{2} + 2\sqrt{3}\cdot (\Delta ABC) $
quindi essendo tutto ripetibile ciclicamente per gli altri due lati $ O_1O_2 = O_2O_3 = O_3O_1 $ e il triangolo è equilatoro
il baricentro divide la mediana in rapporto 2:1 quindi $ AO_2 = \frac{b}{\sqrt{3}} $ e ugualmete $ AO_3 = \frac{c}{\sqrt{3}} $
Per Carnot sul triangolo che unisce i centri $ 3 \cdot O_3O_2^2 = c^2 + b^2 - 2cb \cdot cos(60 + \alpha) = $$ c^2 + b^2 - cb\cdot cos \alpha - \sqrt{3} \cdot cb\cdot sen\alpha $
ma per carnot su ABC $ cb \cdot cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2} $ e inoltre $ cb\cdot sen\alpha = 2(\Delta ABC) $
$ 3\cdot O_3O_2^2 = \frac{a^2+b^2+c^2}{2} + 2\sqrt{3}\cdot (\Delta ABC) $
quindi essendo tutto ripetibile ciclicamente per gli altri due lati $ O_1O_2 = O_2O_3 = O_3O_1 $ e il triangolo è equilatoro