Essendo $ p \ge 3 $ un primo naturale ed $ a $ un intero, poniamo $ \displaystyle\left(\frac{a}{p}\right) = 1 $, se $ a $ è un residuo quadratico mod p; $ \displaystyle\left(\frac{a}{p}\right) = -1 $, se $ a $ non è un residuo quadratico mod p; $ \displaystyle\left(\frac{a}{p}\right) = 0 $, se $ a $ è divisibile per $ p $. Siano quindi $ a_p, b_p \in \mathbb{Z} $, con $ \gcd(a_p, b_p) = 1 $ e $ b_p > 0 $, tali che $ \displaystyle \frac{a_p}{b_p} = \left(\frac{1}{p}\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2}{p}\right) + \ldots + \frac{1}{p-1} \cdot \left(\frac{p-1}{p}\right) $ $ =\displaystyle\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k} \cdot \left(\frac{k}{p}\right) $. Dimostrare che:
1) se $ p > 3 $, allora $ a_p $ è divisibile per $ p $.
2) se $ p > 5 $ e $ p \equiv 1 \bmod 4 $, allora $ a_p $ è divisibile per $ p^2 $.
3) se $ p \equiv 3 \bmod 4 $, allora $ a_p $ non è divisibile per $ p^2 $.
4) $ a_p $ non è divisibile per $ p^3 $.