Scusa ... ma nel primo post che citi io dico
"gli elementi di questo insieme si chiamano tensori"
e l'insieme in questione è fatto da funzioni che prendono un po' di vettori e danno un numero reale, quindi un tensore è una cosa che prende un po' di vettori e dà un numero reale.
Ha delle componenti perchè, come ho diffusamente dimostrato, una simile cosa si può scrivere come polinomio rispetto alle componenti dei vettori coinvolti, utilizzando i suoi valori sulla base canonica.
Indichiamo con $ \wedge $ il prodotto vettore in R^3 e con $ \cdot $ il prodotto scalare.
$ f(u,v,w)=(u\wedge v)\cdot w $ è una funzione che prende 3 vettori dello spazio e ci associa un numero reale; tale numero reale, esplicitamente, è dato da $ |u||v||w|\sin(\widehat{u,v})\cos(\widehat{u\wedge v, w}) $
dove $ \widehat{a,b} $ è l'angolo tra i vettori a,b misurato da a verso b.
Ora, verifichiamo che f è un tensore di grado 3 su R^3, ovvero verifichiamo che è lineare in ogni componente:
(i) ovviamente
$ ( (ku)\wedge v)\cdot w=( u\wedge(kv))\cdot w) $$ =(u\wedge v)\cdot (kw)=k((u\wedge v)\cdot w) $
e quindi $ f(ku,v,w)=f(u,kv,w)=f(u,v,kw)=kf(u,v,w) $ per ogni numero reale k.
(ii) inoltre
$ f(u+u',v,w)=((u+u')\wedge v)\cdot w=(u\wedge v+ u'\wedge v)\cdot w $$ =(u\wedge v)\cdot w + (u'\wedge v)\cdot w=f(u,v,w)+f(u',v,w) $
e lo stesso per v; per w è anche più semplice
$ f(u,v,w+w')=(u\wedge v)\cdot (w+w')= $$ (u\wedge v)\cdot w+ (u\wedge v)\cdot w'=f(u,v,w)+f(u,v,w') $.
Quindi f è un tensore (perchè è lineare in ogni componente) di grado 3 (perchè accetta come argomento 3 vettori) su R^3 (perchè ogni vettore dei 3 che le diamo è un vettore di R^3).
Ora, come detto nel mio primo post, consideriamo i vettori
(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) ($ e_1,e_2,e_3 $ per comodità)
che formano la base canonica di R^3 e consideriamo tutte le possibili terne che hanno loro come elementi (con ripetizione e distinguendo a seconda dell'ordine).
$ (e_1,e_1,e_1), (e_1,e_1,e_2), (e_1,e_1,e_3) $
$ (e_1,e_2,e_1), (e_1,e_2,e_2), (e_1,e_2,e_3) $
$ (e_1,e_3,e_1), (e_1,e_3,e_2), (e_1,e_3,e_3) $
$ (e_2,e_1,e_1), (e_2,e_1,e_2), (e_2,e_1,e_3) $
$ (e_2,e_2,e_1), (e_2,e_2,e_2), (e_2,e_2,e_3) $
$ (e_2,e_3,e_1), (e_2,e_3,e_2), (e_2,e_3,e_3) $
$ (e_3,e_1,e_1), (e_3,e_1,e_2), (e_3,e_1,e_3) $
$ (e_3,e_2,e_1), (e_3,e_2,e_2), (e_3,e_2,e_3) $
$ (e_3,e_3,e_1), (e_3,e_3,e_2), (e_3,e_3,e_3) $
Ora calcoliamo la f in ciascuna di queste terne, ovvero facciamo
$ f(e_1,e_1,e_1), f(e_1,e_1,e_2), f(e_1,e_1,e_3) $ eccetera
(i conti li lascio fare a te) Quel che viene è
$ \begin{array}{rrr}0& 0& 0\\0& 0& 1\\0& -1& 0\end{array} $
$ \begin{array}{rrr}0& 0& -1\\0&0&0\\1& 0& 0\end{array} $
$ \begin{array}{rrr}0& 1& 0\\-1&0& 0\\0&0 &0\end{array} $
Dunque, diciamo che i tre vettori u,v,w si scrivono come
$ u=(u_1,u_2,u_3), v=(v_1,v_2,v_3), w=(w_1,w_2,w_3) $ ovvero
$ u=u_1e_1+ u_2e_2+u_3e_3 $ $ v=v_1e_1+v_2e_2+v_3e_3 $ $ w=w_1e_1+w_2e_2+w_3e_3 $ dove (attento!!) gli e_i sono vettori mentre gli u_i,v_i, w_i sono numeri reali. Allora,
$ f(u,v,w)=f(u_1e_1+ u_2e_2+u_3e_3,v,w)= $(applicando la proprietà (ii) della linearità componente per componente)$ =f(u_1e_1,v,w)+f(u_2e_2,v,w)+f(u_3e_3,v,w)= $(applicando la proprietà (i) )$ =u_1f(e_1,v,w)+u_2f(e_2,v,w)+ u_3f(e_3,v,w) $
Ora, per ciascuno di questi addendi, si utilizza la scrittura di v come $ v_1e_1+v_2e_2+v_3e_3 $ e si ripete il procedimento ora utilizzato; si troverà una somma di 9 termini (io non faccio i conti, ma ti invito a farli):
$ u_1v_1f(e_1,e_1,w)+u_1v_2f(e_1,e_2,w) +u_1v_3f(e_1,e_3,w)+ $ .... (questi sono i termini che vengono da $ u_1f(e_1,v,w) $)
$ +u_2v_1f(e_2,e_1,w)+ u_2v_2f(e_1,e_2,w)+u_2v_3f(e_2,e_3,w)+ $ ... (questi invece vengono da $ u_2f(e_2,v,w) $)
$ +u_3v_1f(e_3,e_1,w)+u_3v_2f(e_3,e_2,w)+u_3v_3f(e_3,e_3,w) $
A questo punto si utilizza la scrittura di w come $ w_1e_1+w_2e_2+w_3e_3 $ e si sviluppa ognuno di questi termini; verrà una somma con 27 addenti, in cui compare la f calcolata in tutte le terne che avevamo scritto prima moltiplicata per i corrispondenti u_i, v_j, w_k; quindi, in forma compatta
$ f(u,v,w)=\displaystyle{\sum_{i,j,k=1}^3u_iv_jw_kf(e_i,e_j,e_k)} $
In questa espressione, sostituiamo i valori della f nelle terne che abbiamo calcolato sopra; molti pezzi saranno 0 e rimarranno solo quelli corrispondenti alle terne (i,j,k) date da (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1), lasciandoci scrivere che
$ f(u,v,w)=u_1v_2w_3f(e_1,e_2,e_3)+u_1v_3w_2f(e_1,e_3,e_2)+ $$ u_2v_1w_3f(e_2,e_1,e_3)+u_2v_3w_1f(e_2,e_3,e_1)+ $$ u_3v_1w_2f(e_3,e_1,e_2)+u_3v_2w_1f(e_3,e_2,e_1) $
andando a sostituire i valori (che nel nostro caso sono solo 1 e -1) otterremo
$ f(u,v,w)=u_1v_2w_3-u_1v_3w_2- $$ u_2v_1w_3+u_2v_3w_1+u_3v_1w_2-u_3v_2w_1 $
Questa è la scrittura del tensore f in coordinate rispetto alla base e_1,e_2,e_3 di R^3; in questo modo possiamo associare al tensore f i 27 coefficienti $ f_{ijk}=f(e_i,e_j,e_k) $; nel nostro caso $ f_{ijk}=0 $ se i=j o j=k o k=i, $ f_{ijk}=1 $ se (i,j,k) è una permutazione pari di (1,2,3) e $ f_{ijk}=-1 $ se (i,j,k) è una permutazione dispari di (1,2,3).
Questi 27 coefficienti si chiamano anche componenti del tensore f rispetto alla base canonica e possono essere intesi come una "matrice a 3 dimensioni", un cubo di numeri, che si può moltiplicare per un vettore nella maniera che segue:
indichiamo con <f,a> la moltiplicazione del tensore f per il vettore a che nel caso in cui f sia di grado 2 (una matrice) coincide con il prodotto riga per colonna (deve essere coerente con quella formula che ti avevo dato per le applicazioni bilineari) e quindi diciamo che se f è un tensore di grado k su R^n e a è un vettore di R^n, allora g=<f,a> sarà un tensore di grado k-1 su R^n tale che, se f era individuato rispetto alla base canonica da coefficienti $ f_{i_1,\ldots, i_k} $ , allora g sarà individuato da coefficienti $ g_{i_1,\ldots, i_{k-1}} $ tali che
$ g_{i_1,\ldots, i_{k-1}}=\displaystyle\sum_{j=1}^nf_{i_1,\ldots, i_{k-1},j)a_j $ (dove a_j è la componente j-esima di a).
Nel nostro esempio, se $ a=(a_1,a_2,a_3) $, allora <f,a> sarà un tensore di grado 2 su R^3, quindi una matrice 3x3, che avrà come coefficiente al posto i,j la somma
$ \displaystyle\sum_{k=1}^3f_{i,j,k}a_k $
ovvero questa matrice sarà fatta così (fai i conti e verifica!!)
$ g=<f,a>=\left(\begin{array}{ccc}0 & a_3 & -a_2\\-a_3 & 0 & a_1\\a_2 & -a_1&0\end{array}\right) $
A questo punto ti lascio da verificare che, se B è una matrice e b è un vettore <B,b> come l'abbiamo definito (intendento B_{ij} come l'el di posto i,j in B) è il prodotto riga per colonna Bb e che se a,b sono due vettori <a,b> è il prodotto scalare tra loro.
Indichiamo con <f,v;w>=<<f,v>,w> e quindi in generale $ <f,v_1;v_2;\ldots;v_p>=<\ldots<<f,v_1>,v_2>\ldots,v_p> $. Allora si avrà che, se f è un tensore di grado k,
$ f(v_1,\ldots,v_k)=<f,v_k;v_{k-1};\ldots;v_1> $ (attenzione, sono ordinati al contrario!!).
(tanti conti).
Quindi, più implicitamente, il tensore di grado k-1 g=<f,v> è quel tensore che prende k-1 vettori $ u_1,\ldots, u_k $ e ci associa il numero reale $ f(u_1,\ldots, u_{k-1}, v) $.
Ritornando al nostro esempio, g=<f,a> è una matrice, quindi è una applicazione bilineare, quindi ad ogni due vettori associa un numero; è facile vedere con la formula che ti ho dato nel primo post, che
$ g(v,w)=f(v,w,a)=(v\wedge w)\cdot a $.
Inoltre, se ora facciamo h=<g,b>, otterremo un tensore di grado 1, ovvero un vettore, che avrà come componente i-esima la somma
$ \displaystyle\sum_{j=1}^3g_{i,j}b_j $ ovvero, come detto prima, valr proprio h=gb con il prodotto riga per colonna; svolgendo i conti
$ h=(b_2a_3-b_3a_2, -b_1a_3+b_3a_1, b_1a_2-b_2a_1) $
e infine, considerando un terzo vettore c, il tensore di grado 0 <h,c> non sarà altro che il prodotto scalare di h e c e sarà
$ c_1b_2a_3-c_1b_3a_2 -c_2b_1a_3+c_2b_3a_1+ c_3b_1a_2-c_3b_2a_1 $
Ora ti dovrebbe essere facile verificare che questo è proprio f(c,b,a) con la formula data sopra (con gli u_i, v_j, w_k che diventeranno rispettivamente c_i,b_j,a_k).
Ecco, non volevo parlare della contrazione di un vettore con un tensore, ma ormai è fatta ... pazienza. Spero solo che tu ci abbia capito qualcosa.
PS : non è un caso che f(u,v,w) sia il determinante della matrice che ha per colonne u,v,w; infatti il determinante di una matrice nxn è un tensore di grado n su R^n che alle sue n colonne viste come vettori (o alle sue n righe viste come n vettori) associa un numero reale, in maniera da essere lineare in ogni componente (cioè in ogni colonna o riga).
(meglio tardi che mai)