Trovare tutte le funzioni R->R tali che
$ f(f(x)+y)=f(f(x)-y)+4f(x)y\ \ \forall x,y\in\mathbb{R} $
Balkan07 - problema2
Speravo che qualcuno mandasse la soluzione, mostrandomi un trucco per risolvere questo tipo di problemi; poiché non è avvenuto, provo a smuovere le acque con una risposta incompleta.
Dalla formula è subito evidente che una risposta è f(x)=0 e che questa è l’unica risposta del tipo f(x)=k. Escludendo ora le funzioni costanti, f(x) assume più valori e per ognuno di essi prendiamo y=f(x); sostituendo nella formula otteniamo $ f(2y)=f(0)+4y^2 $, cioè, posto f(0)=a e 2y=x,
(1) $ f(x)=a+x^2 $
Sostituendo la (1) nella formula data si ottiene una identità, dimostrando che per ogni x la (1) è condizione sufficiente; dal ragionamento precedente si ricava che è anche necessaria se unita all’ipotesi che x/2 sia un valore assumibile da f(x). Resta il dubbio che possano esistere altre soluzioni che non soddisfano l’ultima ipotesi.
Dalla formula è subito evidente che una risposta è f(x)=0 e che questa è l’unica risposta del tipo f(x)=k. Escludendo ora le funzioni costanti, f(x) assume più valori e per ognuno di essi prendiamo y=f(x); sostituendo nella formula otteniamo $ f(2y)=f(0)+4y^2 $, cioè, posto f(0)=a e 2y=x,
(1) $ f(x)=a+x^2 $
Sostituendo la (1) nella formula data si ottiene una identità, dimostrando che per ogni x la (1) è condizione sufficiente; dal ragionamento precedente si ricava che è anche necessaria se unita all’ipotesi che x/2 sia un valore assumibile da f(x). Resta il dubbio che possano esistere altre soluzioni che non soddisfano l’ultima ipotesi.
-
Ponnamperuma
- Messaggi: 411
- Iscritto il: 10 lug 2006, 11:47
- Località: Torino
