Massimo prodotto di n numeri

[shuzz]

Credo che questo risultato sia giusto, ma non riesco a dimostrarlo:

Dati n numeri la cui somma è k il loro massimo prodotto è $ (\frac{k}{n})^n $ , cioè se gli n numeri sono tutti uguali.

[edriv]

Cerca qualcosa sulla disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica!

[dalferro11]

puoi provare una cosa un po' più difficile:
Con le derivate parziali......

[Ponnamperuma]

Detti $ a_1,a_2,...,a_n $ i numeri in questione, vale $ a_1+a_2+...+a_n=k $.
Per definizione $ \displaystyle AM=\frac{a_1+...+a_n}{n}=\frac{k}{n} $, mentre $ GM=\sqrt[n]{a_1a_2...a_n} $.
Per la disuguaglianza fra media aritmetica e media geometrica, $ AM\geq GM $, da cui $ \displaystyle GM^n\leq AM^n \Rightarrow a_1a_2...a_n\leq \left(\frac{k}{n}\right)^n $, laddove l'uguaglianza si ha, come in ogni AM-GM, se tutti gli $ a_i $ sono uguali... c.v.d.

P.S.: Per la cronaca, AM sta per "Arithmetic Mean", mentre GM per "Geometric Mean"!

[Marco]

Credo che questo risultato sia giusto, ma non riesco a dimostrarlo:

Dati n numeri la cui somma è k il loro massimo prodotto è $ (\frac{k}{n})^n $ , cioè se gli n numeri sono tutti uguali.

Falso!!!

Prendi k=n=3. Se fosse vero, il massimo dovrebbe essere 1.

Ma se prendi come numeri -10, -10, 23, la somma fa 3, ma il prodotto fa 2300...

[giove]

Spero (e suppongo) che i numeri debbano essere tutti positivi
In questo caso vale la dimostrazione di Ponnamperuma.

[Ponnamperuma]

Si, beh, è vero!... Tanto più che la media geometrica è definita solo sui reali non negativi (almeno stando alla dispensa di G.Gilardi, perché K.Kedlaya dimostra AM-GM con reali strettamente positivi!)...

[Marco]

Ah sì? Io la parola "positivo" nel messaggio di Schuzz non la vedo scritta da nessuna parte. E mi pare che tutte le espressioni che scrive siano perfettamente sensate anche per numeri negativi. E che ben tre (diconsi: tre) solutori non ne abbiano mai fatto cenno nei loro messaggi.

Morale: prima di applicare un teorema, ricordatevi di verificare le ipotesi.

[Ponnamperuma]

Credo che questo risultato sia giusto, ma non riesco a dimostrarlo:

Dati n numeri la cui somma è k il loro massimo prodotto è $ (\frac{k}{n})^n $ , cioè se gli n numeri sono tutti uguali.

Falso!!!

Si stantibus rebus, ho supposto che a questo punto fosse ovvio dedurre l'appartenenza degli $ a_i $ a $ \mathbb{N} $... anche se forse avrei dovuto dimostrarlo!
Ad ogni modo, chiedo venia per la precipitosità!...

[shuzz]

Si mi sono dimenticato di dire che i numeri erano positivi. Comunque, come si dimostra che la media geometrica è minore o uguale a quella aritmetica?

[pic88]

ci sono un po' di dimostrazioni qui..
http://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic ... inequality