una delucidazione su una successione di funzioni

[fricke]

Salve ragazzi; ho preso in esame questa successione di funzioni, esempio fra gli innumerevoli criptici miei appunti:

$ \displaystyle f_{n}(x) = \frac{x}{n^2}\cdot e^{-\frac{x}{n}} $

dovendone studiare l'uniforme convergenza a zero, non riesco a capire come si possa spiegare questa esatta uguaglianza:

$ \displaystyle \sup_{x\in [0, +\infty[} f_{n}(x) = f_{n}(n) $

nel senso: che tutto giochi sul rapporto di x su n è chiaro, ed è anche chiaro il fatto che per ogni x di R esiste sempre un n>x... ma tutto questo non finisce di convincermi....

[SkZ]

non ho idea se e' utile (la mia mente e' troppa prersa in altro), ma l'ho trovato carino
$ $f_n(x)=\frac{\partial }{\partial n}e^{-\frac{x}{n}}$ $

[Nonno Bassotto]

Nell'uguaglianza che dici tu n è fissato. Quindi basta fare uno studio di funzione per trovare il massimo di f_n

[fricke]

Nell'uguaglianza che dici tu n è fissato. Quindi basta fare uno studio di funzione per trovare il massimo di f_n

sai, che lo pensavo anch'io?però non c'ero mai andato così in fondo, e allora, senti questa:

ho controllato che la derivata di $ \displaystyle\frac{x}{n^2}\cdot e^{-\frac{x}{n}} $ si annulla proprio per x=n.... che bello!

grazie a entrambi per le dritte! ciao

p.s.: una curiosità: ma secondo voi c'è qualcosa di vero nel fatto che il risultato ottenuto sia determinato anche in qualche modo dal fatto che per ogni x di R esiste un n>x? oppure è una discussione senza fondamento?