pallina che gira..gira...gira

[donchisciotte]

sono emozionato! è il mio primo topic! cmq ciancio alle bande...
trovare l'equazione oraria di una pallina inizialmente ferma su un binario che gira cn una certa velocità angolare, la pallina è posta ovviamente ad una certa distanza dal centro di rotazione diversa da zero... naturalmente trascurare gli attriti...

[BMcKmas]

sono emozionato! è il mio primo topic! cmq ciancio alle bande...
trovare l'equazione oraria di una pallina inizialmente ferma su un binario che gira cn una certa velocità angolare, la pallina è posta ovviamente ad una certa distanza dal centro di rotazione diversa da zero... naturalmente trascurare gli attriti...

Sarà l'emozione, o forse sono io che non colgo, ma scusa:

se la pallina è ferma, come fa a girare?

Si ipotizza che la pallina sia di raggio trascurabile (il sospetto viene dal diminutivo e dal fatto che non fornisci il raggio) e quindi è un punto materiale, ma allora cos'è il centro di rotazione?

Forse se chiarisci questi fatti riesco a formulare anche altre domande su successivi aspetti del problema (come l'assenza di attrito) che non ho interpretato.

ciao

[donchisciotte]

scusami!
Allora: il raggio non è importante, l'asse di rotazione è perpendicolare al binario e sulla pallina che è inizialmente ferma agisce una forza centrifuga non bilanciata, quindi la pallina tende a muoversi, cambiando di volta in volta la sua accelerazione. Per comodità considero il sistema di riferimento concorde al binario e l'equazione oraria come la distanza dall'asse di rotazione in funzione del tempo. E' ovvio che l'accelerazione non dipende dalla massa o dalle dimensioni della pallina, ma solo dalla sua distanza dall'asse. Spero di essermi chiarito. e scusa ancora

[BMcKmas]

ci rinuncio!

ciao

[julio14]

è come un fucile con la canna infinita che usa la forza centrifuga al posto della polvere da sparo, giusto?

[donchisciotte]

si

[BMcKmas]

Adesso ho capito il problema:

Una pallina è vincolata a muoversi senza attrito su una guida rettilinea e quest'ultima gira a velocità angolare costante attorno a un asse verticale fisso!

OK?

Inoltre penso che tu assuma anche che la guida passi per il centro di rotazione ...

... se è così, mi sa che hai ideato (nel sistema di riferimento della guida) una molla di costante elastica negativa .


ciao

[donchisciotte]

bravo! la difficoltà sta appunto nel trovare lo spazio in funzione del tempo.

[BMcKmas]

tecnicamente, è necessario integrare una equazione differenziale ordinaria lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti. Però, anche con considerazioni 'elementari' (diciamo con il rigore liceale) ci si può arrivare...

... quali funzioni rimangono dello stesso tipo (a meno di un fattore moltiplicativo positivo) quando sono derivate due volte?

[zancus]

L'accelerazione è data da:
[1] $ $a=w^2s$ $

Sapendo poi che l'accelerazione è la derivata seconda dello spazio fatta rispetto al tempo, la [1] diventa:
$ $\frac {d^2s}{dt^2}=w^2s$ $

La soluzione di questa equazione differenziale è:
$ $s=Ae^{wt}+Be^{-wt}$ $

Chiamiamo $ $D$ $ la distanza iniziale dal centro. Nel tempo iniziale $ $t=0$ $, $ $s$ $ sarà quindi uguale a $ $D$ $
$ $Ae^{w0}+Be^{-w0}=A+B=D$ $

Sappiamo inoltre che nel tempo iniziale $ $t=0$ $ la velocità è nulla, quindi la derivata prima è nulla nel punto 0:
$ $\frac{ds}{dt}(0)=Awe^{w0}-Bwe^{-w0}=w(A-B)=0$ $

e dal momento che $ $w$ $non può essere nulla, $ $A=B$ $

Risolviamo il sistema:
$ $\left\{\begin{array}{ll}A+B=D \\ A=B \end{array}\right$ $
$ $A=B=\frac {D}{2}$ $

La legge oraria è dunque:
$ $s=\frac {D}{2}(e^{wt}+e^{-wt})$ $

[luiz]

wow...certo che la soluzione di equazioni differenziali è uno strumento potente...è un peccato che al liceo non se ne parli...

io il problema lo risolvevo ricavandomi la funzione della velocita rispetto alla distanza dall'asse di rotazione...da ciò risolvevo l'equazione differenziale tramite il metodo di separazione delle variabili...in tal modo si ricava il tempo in funzione della distanza dal centro.

ciao

[zancus]

io il problema lo risolvevo ricavandomi la funzione della velocita rispetto alla distanza dall'asse di rotazione...da ciò risolvevo l'equazione differenziale tramite il metodo di separazione delle variabili...

Puoi spiegarmi come hai fatto?

[luiz]

si... anche se non sapendo usare la tex non verra fuori un granché...
allora...sulla pallina agisce una sorta di forza centrifuga (naturalmente sappiamo che questa è solo una forza apparente) che quindi produrrà un lavoro e quindi conferirà alla pallina un energia cinetica...
L=F*Dr=En. cin
ora visto che la forza non è costante al variare di r(cioè la distanza dall'asse di rotazione) questo lavoro va calcolato con l'integrale definito da r0 a r di m*w^2*z in dz (dove r0 è la posizione iniziale della massa di massa m, w è la velocità angolare del binario e z è una variabile ausiliaria) quindi, risolvendo l'integrale abbiamo:
mv^2/2=mw^2(r^2-r0^2)/2 ---> v=dr/dt=w*sqrt(r^2-r0^2)

a questo punto abbiamo un equazione differenziale che si risolvibile per separazione di variabili:

dt=dr/w*sqrt(r^2-r0^2)

integrando i due membri si ha il tempo in funzione della posizione...ma visto che non so integrare il membro a destra mi sono fermato qui...

[zancus]

ok, grazie! adesso ho capito!
in effetti quell'integrale che hai trovato non riuscirei a risolverlo... sul mio libro di mate c'è scritto che $ $\int \frac {1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx = \ln\lvert \sqrt {x^2 \pm a^2}+x\rvert +c$ $
ma non mi dice il perchè!
Comunque alla fine mi risulta $ $t=\frac{1}{w}\ln \left (\sqrt{r^2-{r_0}^2}+ r \right ) -\frac{1}{w}\ln r_0$ $