D'accordo non ho esperienza però...
D'accordo non ho esperienza però...
dunque, è uno dei primi esercizi sugli interi che provo a risolvere e quindi non so se è giusto e/o completo...
è uno dei vecchi esercizi dei test d'ammissione al S.Anna di pisa.
Determinare tutte le coppie (m,n) di interi positivi per cui
(m^(n^5-n))^(1/60)
risulta a sua volta un intero.
[devo ancora imparare a scrivere come linguaggio matematico...]
allora io ho ragionato così:
affinchè quella roba lì sia intera è necessario che la quantità sotto radice possa essere scritta come:
m^60k
ossia n^5-n deve essere uguale ad un multiplo di 60
n^5-n=60k
n(n^4-1)=60k
n(n^2-1)(n^2+1)=60k
n(n-1)(n+1)(n^2+1)=60k
ora...
i primi tre fattori sono tre numeri consecutivi quindi sono divisibili per 6
quindi basta che
n^2+1 = 10h
affichè questo avvenga deve essere:
a) n^2+1 un numero pari
b) l'ultima cifra di n^2+1 uno zero
la a) mi dice che n è dispari
la b) mi dice che l'ultima cifra di n^2 è 9 da cui:
unità(n) | unità(n^2)
3 | 9
5 | 5
7 | 9
9 | 1
per cui le coppie cercate sono del tipo (m,xy3) o (m,xy7) dove xy sono le cifre prima del 3 o del 7.
che ne dite?
è uno dei vecchi esercizi dei test d'ammissione al S.Anna di pisa.
Determinare tutte le coppie (m,n) di interi positivi per cui
(m^(n^5-n))^(1/60)
risulta a sua volta un intero.
[devo ancora imparare a scrivere come linguaggio matematico...]
allora io ho ragionato così:
affinchè quella roba lì sia intera è necessario che la quantità sotto radice possa essere scritta come:
m^60k
ossia n^5-n deve essere uguale ad un multiplo di 60
n^5-n=60k
n(n^4-1)=60k
n(n^2-1)(n^2+1)=60k
n(n-1)(n+1)(n^2+1)=60k
ora...
i primi tre fattori sono tre numeri consecutivi quindi sono divisibili per 6
quindi basta che
n^2+1 = 10h
affichè questo avvenga deve essere:
a) n^2+1 un numero pari
b) l'ultima cifra di n^2+1 uno zero
la a) mi dice che n è dispari
la b) mi dice che l'ultima cifra di n^2 è 9 da cui:
unità(n) | unità(n^2)
3 | 9
5 | 5
7 | 9
9 | 1
per cui le coppie cercate sono del tipo (m,xy3) o (m,xy7) dove xy sono le cifre prima del 3 o del 7.
che ne dite?
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beh se scriviamo 4=2^2 la cosa si riduce al caso che avevo detto io cioè 2^60pic88 ha scritto:Direi che con $ {m=4} $ e $ {n=2} $ vanno bene, anche se 2^5-2=30 non è multiplo di 60..affinchè quella roba lì sia intera è necessario che la quantità sotto radice possa essere scritta come:
m^60k
ossia n^5-n deve essere uguale ad un multiplo di 60
tuttavia concordo sul fatto che a quel punto ad essere multiplo di 60 è 2*(n^5-n) e non n^5-n....
quindi chiedo...
suggerimenti?
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Continuo... deve essere
$ \displaystyle m^{n^5-n}=a^{60} $, per qualche a intero.
Quindi... scriviamo tutte le soluzioni.
Se m= k^60 per qualche k intero, van bene tutti gli n. $ (k^{60},n) $
Se m= k^30, van bene gli n tali che $ 2|n^5-n $, ossia tutti gli n (non è difficile vedere che n^5-n è sempre pari... $ (k^{30},n) $
(a questo punto le seconde coppie trovate comprendono le prime)
EDIT:
se m=k^20, allora 3|n^5-n ossia van bene tutti gli n.. non ho voglia di finirlo ma dovrebbe essere chiaro
$ \displaystyle m^{n^5-n}=a^{60} $, per qualche a intero.
Quindi... scriviamo tutte le soluzioni.
Se m= k^60 per qualche k intero, van bene tutti gli n. $ (k^{60},n) $
Se m= k^30, van bene gli n tali che $ 2|n^5-n $, ossia tutti gli n (non è difficile vedere che n^5-n è sempre pari... $ (k^{30},n) $
(a questo punto le seconde coppie trovate comprendono le prime)
EDIT:
se m=k^20, allora 3|n^5-n ossia van bene tutti gli n.. non ho voglia di finirlo ma dovrebbe essere chiaro
Ultima modifica di pic88 il 14 ago 2007, 20:24, modificato 1 volta in totale.
beh... il caso di 3|n^5-n è ancora per tutti gli n... n^5-n come avevo già detto è divisibile sempre per 6... (e quindi per 2 e per 3) essendo (n-1)n(n+1)(n^2+1)=n^5-npic88 ha scritto:Continuo... deve essere
$ \displaystyle m^{n^5-n}=a^{60} $, per qualche a intero.
Quindi... scriviamo tutte le soluzioni.
Se m= k^60 per qualche k intero, van bene tutti gli n. $ (k^{60},n) $
Se m= k^30, van bene gli n tali che $ 2|n^5-n $, ossia tutti gli n (non è difficile vedere che n^5-n è sempre pari... $ (k^{30},n) $
(a questo punto le seconde coppie trovate comprendono le prime)
se m=k^20, allora 3|n^5-n ossia n multiplo di 3 oppure n-1 multiplo di tre.. non ho voglia di finirlo ma dovrebbe essere chiaro
oppure no?
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cerchiamo di formalizzare il tutto, è più facile di quanto non sembri
considero la divisibilità di n^5 - n per 60;
n^5 - n = n(n-1)(n+1)(n^2+1) = a
si vede facilmente che a è pari
considero n=0 mod 4
tre fattori di a sono consecutivi, dunque a è divisibile per 3
se n=0 mod 5 allora a è divisibile per 5, se n=1 mod 5 allora n-1 divisibile per 5, se n=2 mod 5 allora n^2+1 è divisibile per 5, se n=3 mod 5 allora n^2 +1 divisibile per 5, se n= 4 mod 5 allora n+1 divisibile per 5. Da cio:
a divisibile per 3,4,5 quindi per 60
se n=0mod4 allora per tutti gli m il numero è intero.
considero n=2 mod 2
allora a è divisibile per 2,3,5(ripetendo tutto il casino di prima )
da cui il numero è intero se e soltanto se m è un quadrato perfetto
per n=1 mod 4 o n=3 mod 4: stesse considerazioni, soltanto concentrandosi su n-1 o n+1
mi scuso per il non latex
considero la divisibilità di n^5 - n per 60;
n^5 - n = n(n-1)(n+1)(n^2+1) = a
si vede facilmente che a è pari
considero n=0 mod 4
tre fattori di a sono consecutivi, dunque a è divisibile per 3
se n=0 mod 5 allora a è divisibile per 5, se n=1 mod 5 allora n-1 divisibile per 5, se n=2 mod 5 allora n^2+1 è divisibile per 5, se n=3 mod 5 allora n^2 +1 divisibile per 5, se n= 4 mod 5 allora n+1 divisibile per 5. Da cio:
a divisibile per 3,4,5 quindi per 60
se n=0mod4 allora per tutti gli m il numero è intero.
considero n=2 mod 2
allora a è divisibile per 2,3,5(ripetendo tutto il casino di prima )
da cui il numero è intero se e soltanto se m è un quadrato perfetto
per n=1 mod 4 o n=3 mod 4: stesse considerazioni, soltanto concentrandosi su n-1 o n+1
mi scuso per il non latex