Limiti

[marco-daddy]

Qualcuno potrebbe spiegarmi come si arriva a questi risultati?

$ $ \lim_{p\rightarrow 0} \left( \frac{{a_1}^p+{a_2}^p+\cdots +{a_n}^p}{n}\right)^{\frac{1}{p}}=\sqrt[n]{{a_1}{a_2}\cdots {a_n}} $

$ $ \lim_{p\rightarrow +\infty} \left( \frac{{a_1}^p+{a_2}^p+\cdots +{a_n}^p}{n}\right)^{\frac{1}{p}}=\max\{{a_1},{a_2},\cdots {a_n}\} $

$ $ \lim_{p\rightarrow -\infty} \left( \frac{{a_1}^p+{a_2}^p+\cdots +{a_n}^p}{n}\right)^{\frac{1}{p}}=\min\{{a_1},{a_2},\cdots {a_n}\} $

[Sisifo]

Allora.. Facciamo il primo che è (a mio parere) il più difficile
$ \lim_{p\rightarrow 0} \left( \frac{{a_1}^p+{a_2}^p+\cdots +{a_n}^p}{n}\right)^{\frac{1}{p}}= $
$ =\lim_{p\rightarrow 0} e^{\frac{1}{p}\ln \left( \frac{{a_1}^p+{a_2}^p+\cdots +{a_n}^p}{n}\right)}= $
$ =e^{\lim_{p\rightarrow 0} \frac{1}{p}\ln \left( \frac{{a_1}^p+{a_2}^p+\cdots +{a_n}^p}{n}\right)} $
Facciamo il limite all'esponente con de l'Hôpital..
$ \lim_{p\rightarrow 0} \frac{\ln \left( \frac{{a_1}^p+{a_2}^p+\cdots +{a_n}^p}{n}\right)}{p}= $
$ =\lim_{p\rightarrow 0} \frac{\frac{n}{{a_1}^p+{a_2}^p+\cdots +{a_n}^p} \frac{{a_1}^p \ln a_1 +{a_2}^p \ln a_2 +\cdots +{a_n}^p \ln a_n}{n}}{1}= $
$ =\frac{\ln a_1 + \ln a_2 + \cdots + \ln a_n}{n}=\ln \sqrt[n]{{a_1}{a_2}\cdots {a_n}} $
CVD