SNS 2001-2002, 1

[Deerber]

Ho cercato un post riguardo a questo problema, ma sembra che non ce ne siano. In effetti il problema è semplice, ma il fatto che richieda di usare solamente il raggio della terra e l'accelerazione al suolo, lo rende particolarmente antipatico. A dire la verità, a me sono venute in mente le soluzioni a tutti i punti, ma per trovare il valore numerico bisogna fare approssimazioni davvero rozze. Tipo approssimare il raggio dell'orbita del satellite con quello terrestre, visto che il primo non viene fornito. Io penso che il problema chieda di fare queste approssimazioni e di sbattersene, ma magari ad alcuni viene in mente il modo di evitarle, quindi ecco qui il testo:

E’ dato un satellite di massa m = 103 kg in un’orbita circolare geostazionaria
(cioè ruota su un’orbita equatoriale con la stessa velocità angolare
della Terra). Il satellite dispone di opportuni razzi che possono modificarne
la velocità ma non la direzione. L’azione dei razzi è istantanea
(cioè agiscono per un tempo molto breve).
1 caso. Mediante i razzi si vuole allontanare definitivamente il satellite
dalla Terra.
a) Calcolare la minima variazione di quantità di moto che i razzi devono
imprimere al satellite e il lavoro fatto da essi sul satellite.
2 caso. Ora invece, sempre utilizzando opportunamente i razzi, si vuole
riportare il satellite (in orbita geostazionaria) sulla Terra. Si ignori l’effetto
dell’atmosfera.
b) Dopo l’azione (istantanea) dei razzi, quale traiettoria deve percorrere
il satellite affinchè arrivi tangente alla superficie terrestre?
c) Calcolare, facendo uso della terza legge di Keplero, il tempo che impiega
il satellite a raggiungere la Terra, dal momento in cui vengono
azionati i razzi.
d) Calcolare la velocità relativa al suolo con cui il satellite arriva sulla
Terra.
N.B. Si utilizzino soltanto le opportune leggi di conservazione e per i
calcoli numerici non si faccia uso della costante gravitazionale G, ma
dell’accelerazione di gravità g al suolo e del raggio della Terra R =
6.4·10^3km.

P.s: scusate ma non mi andava di ricopiare tutto, ho fatto copia e incolla con acrobat. Spero non ci siano troppi strafalcioni nel testo.

Editato per gli strafalcioni

[Boll]

Sperando di non dire proprio troppissime cazzate...

Innanzitutto, visto che dobbiamo adeguarci alle notazioni del testo per me $ g $ è l'accelerazione di gravità, $ R $ il raggio terrestre, $ G $ la costante di gravitazione universale, $ R_x $ il raggio dell'orbita del satellite, $ m $ la massa del satellite, $ M $ la massa della terra, $ w $ la velocità angolare della terra in rotazione.

Per un punto sulla superficie terrestre avremo
$ $ mg=\frac{GMm}{R^2} $ quindi
$ gR^2=GM $ (i)

e anche penso, essendo terrestre, di poter sapere che un giorno dura 24 ore e quindi mi è nota la velocità angolare
$ $ w=\frac{2 \pi}{T} $$ =7,27*10^{-5} \mbox{[rad]*s^{-2}} $

1) Ora i nostri razzetti devono spingere il satellite dalla sua velocità attuale alla velocità di fuga che si ottiene eguagliando energia cinetica e potenziale risulta

$ $ v_f=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=\sqrt{2gR} $

Per il nostro pianetino abbiamo che:

$ $ mw^2R_x=\frac{GMm}{R_x^2} $ da cui

$ $ R_x^3=g*\frac{R^2}{w^2} $

La velocità attuale risulterà quindi

$ v_i=wR_x=\sqrt[3]{wgR^2} $

L'impulso risulta dunque $ $ m(v_f-v_i)=8,36*10^{5}\mbox{Kg*m*s^{-1}} $

Per il lavoro basta fare la differenza fra le energie.

2) Deve percorrere un ellisse con un estremo nel satellite e tangete alla terra "sotto".

4) Utilizzando la conservazione dell'energia avremo

$ $ \frac{1}{2}mv_i^2-\frac{GMm}{R_x}=\frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{R} $

La massa si elide, per il resto abbiamo tutti i dati in funzione di costanti note (g,R e w)

[Deerber]

Ah ok apposto, avevo ipotizzato che si semplificasse tutto con i calcoli, ma ero troppo pigro per farlo

[luiz]

non sono d'accordo...
vf mi sembra sbagliata in quanto il satellite non si trova sulla superficie terrestre e quindi la sua velocità di fuga è minore...
il vi che utilizzi alla fine non è noto perché la velocità iniziale del satellite viene modificata dai razzi...

[Barbara]

Per il lavoro basta fare la differenza fra le energie.

2) Deve percorrere un ellisse con un estremo nel satellite e tangete alla terra "sotto".

Non mi sono molto chiari questi 2 punti..La differenza tra le energie è intesa solo come differenza tra le energie cinetiche vero?

Nel punto 2 non ho capito perchè tangente "sotto" e perchè l'estremo dell'ellisse debba essere proprio nel satellite?

Un'ultima cosa. Se il testo del problema non avesse parlato di azione ISTANTANEA come sarebbero cambiate le risposte??

Grazie a chiunque mi chiarisca queste cose....Ciao!!

[Barbara]

Dai su non siate timidi.....nessuno che mi sa rispondere????? Mi rifiuto di crederci...