Nave o camion?

[Russell]

Se avete un po' di pazienza...leggete questo...

TESTO
Per trasportare una certa quantità $ q $ di materiale vi sono tre possibilità:
a) autotrasporto al prezzo di $ 2x $, dove $ x $ è la quantità di merce trasportata
b) trasporto marittimo al prezzo di $ 1+\frac{x^2}{3} $ dove $ x $ è la quantità di merce trasportata
c) strategia mista tra le due precedenti.
Si determini la soluzione più economica al variare di $ q $.

SOLUZIONE
Valutiamo l'ipotesi del trasporto misto indicando con $ y $ la quantità che trasportiamo via mare e con $ q-y $ quella che trasportiamo via terra.
Il costo ammonta a $ 2(q-y)+1+\frac{y^2}{3} $. Se consideriamo questa espressione come una funzione $ f(y) $ possiamo derivare e trovare che $ y'=-2+\frac{2}{3}y\geq 0 \Longleftrightarrow y\geq 3 $. Il costo è dunque minimo quando mettiamo la quantità $ 3 $ sulla nave e il resto sull'autocarro, indipendentemente da quanto vale $ q $.
Chiediamoci per quali $ q $ conviene il trasporto marittimo su quello misto, ponendo $ 1+\frac{q^2}{3}\leq 2(q-3)+1+3 $, ottenendo $ {(q-3)}^2\leq 0 $, cioè $ q=3 $. Se $ q=3 $ facciamo dunque il trasporto marittimo (del resto se usassimo quello misto in modo conveniente non metteremmo nulla (3-3=0) sull'autocarro). Se poniamo invece $ 2(q-3)+4\geq 2q $ abbiamo $ -2\geq 0 $, assurdo. Dunque non conviene mai usare solamente l'autocarro.
Riassumendo: per $ q=3 $ usiamo la barca e per ogni altro $ q $ usiamo il trasporto misto in modo opportuno.

Prima domanda: è corretto??
Seconda domanda: gli autori sostengono che non è necessario ricorrere all'analisi matematica per risolvere il problema...come?

[Nonno Bassotto]

Mi sembra corretto. L'analisi non è necessaria perché la funzione che studi è una parabola e il punto di minimo di una parabola si trova in modo elementare, senza le derivate, perché coincide con il vertice.
Ciao

[Russell]

Ok! Grazie!
Approfitto per correggere un errore formale nella soluzione: quando ho scritto...

Se consideriamo questa espressione come una funzione $ f(y) $ possiamo derivare e trovare che $ y'=-2+\frac{2}{3}y.... $

volevo ovviamente scrivere: $ f'(y)=-2+\frac{2}{3}y.... $

[edgar89]

dunque... a meno che mi ricordi male a me usciva fuori che per q<3>3 misto (3 in mare e il resto a terra)

d'altronde se q<3 come verifichi la tua soluzione?