Halvig line

[lordgauss]

Consideriamo anzitutto una retta s orientata (--->) rispetto a cui misurare gli angoli.
<BR>Definiamo come n(â) la retta, orientata nello stesso verso, che forma con s un angolo â e che individua due semipiani contenenti ciascuno m punti neri.
<BR>Definiamo specularmente r(â) come la retta che forma con s un angolo â e che individua due semipiani contenenti ciascuno n punti rossi.
<BR>[A meno di rotazioni \"infinitesime\" (ai nostri fini è lo stesso) tali rette per ogni â esistono e sono uniche].
<BR>
<BR>Supponiamo per iniziare che r(0) sia nel semipiano a destra di n(0) (dove la destra è definita in base al verso di n(0)). Pertanto nel semipiano alla destra di n(0) vi sono più di n punti rossi.
<BR>Facciamo ora variare â da 0 a 180; evidentemente n(180) e r(180) coincidono con n(0) e r(0), tranne che per il verso (che è opposto). Dunque ora r(180) si trova alla sinistra di n(180): pertanto ora il semipiano alla destra di n(180) contiene meno di n punti rossi.
<BR>
<BR>Vi è stato dunque un certo momento, corrispondente ad un certo valore di â (poniamo k), in cui il semipiano alla destra di n ha contenuto esattamente n punti rossi. Dunque n(k) è la retta cercata.

[XT]

Devo ammettere che ci ho capito poco, comunque complimenti... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">

[Epsilon]

Accidenti, volevo esordire con una bella dimostrazione ma lordgauss mi ha preceduto (e anche di molto..)...
<BR>Spero di chiarire il suo messaggio (per me non molto chiaro): la dimostrazione è analoga a quella dell\' esistenza della retta che dimezza contemporaneamente due qualsiasi figure nel piano.
<BR>Appurato che ad ogni angolo (rispetto alla retta orientata s) corrisponde una retta che divide a metà i punti neri, supponiamo che la retta parallela ad s (chiamiamola q) lasci la maggioranza dei punti rossi alla sua destra; facciamo ruotare q di a=180° ed otteniamo una retta con la stessa direzione ma verso opposto, che ha la maggioranza dei punti rossi alla sua sinistra. Tra questi 2 estremi esiste certamente un valore dell\' angolo a per cui i punti rossi alla sua destra e quelli alla sua sinistra sono uguali, quindi la retta s dimezza sia i punti neri, sia quelli rossi.
<BR>Infine credo che la condizione del non allineamento sia dovuto al fatto che implicherebbe l\' esistenza una retta (passante per i 3 punti) che non potrebbe dimezzare i rimanenti (2n-3 è dispari)
<BR>Scusate eventuali errori... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> [addsig]

[Epsilon]

Errata corrige: è la retta q che dimezza i punti sia rossi che neri

[Iulius_Gaius_Caesar]

Complimenti davvero lord, l\'idea centrale della dimostrazione l\'hai proprio trovata.Però questa non è ancora una dimostrazione perché non è affatto vero che ruotando la retta ci deve essere necesariamente un angolo tae che la retta divida a metà anche i punti rossi, se non si fa l\'ipotesi che i punti sono a 3 a 3 non allineati(inoltre non è nemmeno vero che per ogni a esiste un\'unica retta \"a meno di rotazioni infinitesime\").Cmq l\'idea chiave è davvero bella.

[lordgauss]

Ma l\'ipotesi ERA che i punti fossero a terne non allineati

[Iulius_Gaius_Caesar]

Sì ma non l\'hai affatto usata nella dimostrazione , che va bene per due regioni limitate del piano non per due insiemi di punti.
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

[lordgauss]

Tale ipotesi è implicita nell\'affermazione \"A meno di rotazioni \"infinitesime\" (ai nostri fini è lo stesso) tali rette per ogni â esistono e sono uniche\".
<BR>L\'affermazione si giustifica facilmente: basta far scorrere una retta parallelamente a se stessa fino a suddividere a metà i punti. Se mi trovo due punti sulla retta faccio una rotazione \"infinitesima\" attorno ad un punto seguita da uno \"spostamentino\".
<BR>Spero sia chiaro intuitivamente, formalmente occorre aggiungere qualche parola in più.

[Iulius_Gaius_Caesar]

Il punto non è questo (ciò è vero anche se i punti sono allineati), ma il resto della dimostrazione che è valida per regioni limitate di piano non per punti

[XT]

Epsilon devo notare che nella pagina prima scritto e^(pi*i)-1=0
<BR>Se non ricordo male era e^(pi*i)+1=0
<BR>
<BR>Perdonami é una fissazione.. <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">

[Epsilon]

Scuuuuusaaaaaaaaaaaaate............hai absolutely ragione, XT, provvederò al più presto, é che pensavo e e^(i*pi)=-1 e ovviamente a portare di là non ho cambiato segno..........

[Epsilon]

Ecco[addsig]

[XT]

<IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">