Allora provo a postare problemi, qualcuno risponda con le proprie soluzioni
Quesiti
1) Qual'è la probabilità che, lanciando tre dadi, il prodotto dei numeri sia multiplo di 3?
2) Quanti sono i numeri n di due cifre tali che 10n è uguale a 11 volte la somma dei quadrati delle cifre?
3) Due numeri reali x e y; si sa che solo una di queste disuguaglianze vale. Quale?
x^2>2x^2; x>y^2; x^2>y^2; x>2y; x>y.
4) Triangolo rettangolo; dal vertice dell'angolo retto: bisettrice, mediana e altezza. L'ipotenusa viene divisa in 4 pezzettini. Quanto vale il minore di questi?
5) Griglia 4X4. Voglio mettere numeri 1 e 0 - a piacere - in modo che la somma di ogni riga e di ogni colonna sia al massimo 1. Quanti modi ci sono per farlo?
6) Due dodecagoni regolari. Il rapporto tra le superfici è 8. Il volume del secondo solido è sqrt10. Quanto vale il volume del primo?
7) Corde ortogonali in un cerchio di raggio unitario. Quant'è il massimo e il minimo della loro somma?
Hai un tot di numeri della forma 1/n con n naturali tali che la differenza di due dà un terzo della stessa forma, del secondo e del terzo dà un quarto della medesima, etc. Per quanti numeri al massimo si può fare?
9) In un triangolo due mediane sono lunghe 10 e 12. Qual'è l'area massima assumibile dal triangolo?
10) Successione - in parentesi c'è il pedice: a(0)=0, a(1)=1, a(n)=a(n-1)-somma di tutto quello che veniva prima di a(n-1). Quanto vale a2007?
Problemi
1) Due circonferenze tangenti internamente in T. X un punto di quella interna, AB il segmento tangente in X alla circonferenza minore, TA e TB intersecano la circonferenza in A' e B'.
a) Dimostrare che AB è parallelo ad A'B'.
b) Dimostrare che TX è bisettrice dell'angolo ATB.
c) Dimostrare che il triangolo A'XB' è isoscele.
d) Come dev'essere il quadrilatero A'XB'T per essere circoscrivibile?
2) Si intende per numero razionale un numero della forma a/b, con a e b interi.
a) Dimostrare che un numero razionale nel suo sviluppo decimale o è limitato o è illimitato periodico.
b) Dimostrare che, se un numero nel suo sviluppo decimale è limitato o illimitato periodico, allora è razionale.
c) Enunciare e dimostrare un metodo che fornisca un criterio per stabilire se lo sviluppo della frazione ai minimi termini m/n è limitato o illimitato periodico.
d) Sia s=0,101001000100001, a cui tra una cifra 1 e un'altra c'è uno zero in più. Dimostrare che s non è razionale.
3) Pavimento 8X8, due possibili colori di piastrelle.
a) Dimostrare che il numero di modi in cui si possono mettere un numero dispari di caselle blu in una sola fila da 8 è 2^7.
b) Determinare il numero di modi diversi di piastrellare una griglia 8X8 di modo che in ogni fila ci sia un numero dispari
di mattonelle.
c) Determinare i modi diversi di piastrellare una scacchiera 8X8 con una piastrella mancante in angolo di modo che in ogni fila e in ogni colonna da 8 ci sia un numero dispari di mattonelle.
d) Determinare i modi possibili di piastrellare una griglia 8X8 di modo che ci sia un numero dispari di mattonelle in ogni riga e in ogni colonna.
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